Sử dụng đồng biến và nghịch biến để khảo sát hàm số

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình

Nội dung
Một số bài tập ví dụ giải phương trình
Bài tập tự luyện


Bài 1. Giải phương trình:
Giải
Điều kiện x  2/3


Vì x  2/3  x + 3 > 0 , ta được phương trình

Khi đó , suy ra hàm số f(x) đồng biến .
Mà f(2) = 5, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
Bài 2. Giải phương trình:
Giải
Phương trình tương đương với:


Đặt f(t) = 2t + t, khi đó ta có f’(t) = 2t.ln2 + 1 > 0 nên hàm số f(t) đồng biến trên (- ∞; +∞ ). Do đó: (*)  x2 – x = x – 1  x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
Bài 3. Giải phương trình
Giải
Phương trình xác định với mọi x  R.
PT  log3(x2 + x + 3) – log3(2x2 + 4x + 5) = 2x2 + 4x + 5 – (x2 + x + 3)
 log3(x2 + x + 3) + (x2 + x + 3) = log3(2x2 + 4x + 5) + 2x2 + 4x + 5 (1).
Xét hàm số f(t) = log3t + t, khi đó với mọi t > 0.
Suy ra hàm số f(t) luôn đồng biến khi t > 0.
Từ (1) ta có f(x2 + x + 3) = f(2x2 + 4x + 5) nên


Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1; x = -2.
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau đây không có nghiệm âm:

Giải
Đặt xác định trên R.




Ta nhận thấy f’’(x) < 0 với mọi x < 0. Do đó f’(x) là hàm nghịch biến trong
khoảng (- ∞; 0). Mà f’(0) = 0 , nên f’(x) > 0 với mọi x < 0.
Vì vậy hàm f(x) đồng biến trong khoảng(- ∞; 0) mà f(0) = 0 nên f(x) < 0 với
mọi x < 0. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm.
Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm
Giải
Điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1.



Vậy để phương trình có nghiệm thì: 23/27≤ m ≤1.
Bài 6. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Phương trình được viết thành:
Đặt , khi đó
Ta có f(0) = 0, f(-1) = 1/2.
Ta lập bảng biến thiên




Từ bảng biến thiên, suy ra để phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta có
0 < 2m < 1/2  0 < m < 1/4
Bài 7. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình:
có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; + )
Giải
Phương trình tương đương với:
Đặt t = log2x, ta có x ≥ 32  t ≥ 5. Khi đó PT trở thành:

Xét hàm số với t  5. Ta có nên hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng [5; +), suy ra f(t)  f(5) = 3.
Lại có
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thuộc [32; +)
Bài 8. Cho phương trình
a. Giải phương trình với a = 3.
b. Xác định tham số a để phương trình có nghiệm.
Giải
Xét hàm số với -1≤ x ≤ 8.
Bài 8 (tt)
Vậy min-1≤ x ≤ 8 f(x) = 3 và
a. Với a = 3. Phương trình tương đương với
b. Phương trình f(x) = a sẽ có nghiệm
Bài 9. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

Có hai nghiệm thỏa mãn bất phương trình:

Giải
Bất phương trình (2) tương đương với hệ


Đặt f(x) = x2 - 2x + 5 với x  (1; 3). f’(x) = 2(x -1) > 0, nên hàm số f(x) đồng
biến trong khoảng (1; 3). Ta có f(1) = 4, f(3) = 8  4 < f(x) < 8.
Đặt t = log2(x2 – 2x + 5)  log2 4 < t < log2 8  2 < t < 3.
Bài 9 (tt)
Khi đó phương trình (1) trở thành

Ta có f(t)= t2 – 5t với t  (2; 3). f’(t) = 2t - 5  f’(t) = 0  t = 5/2.
Mặt khác f(2) = - 6, f(3) = - 6, f(5/2) = - 25/4.
Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn (2) thì: -25/4 < m < -6.
Bài 10. Cho phương trình
1. Giải phương trình khi a = 7.
2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình.
Giải
Đặt thì phương trình đã cho trở thành

Khi a = 7, ta có phương trình t2 - 8t + 7 = 0 có hai nghiệm t = 1, t = 7.
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm
Số nghiệm của phương trình đã cho đúng bằng số nghiệm dương của phương trình: -t2 + 8t = a.
Xét sự biến thiên của hàm số f(t) = -t2 + 8t,
Ta có f’(t)= -2t +8  f’(t)= 0  t = 4.
Bài 10 (tt)
Bảng biến thiên:





Từ đó ta có kết quả:
Nếu a > 16 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu a = 16 hoặc a < 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Nếu 0 ≤ a < 16 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 11. Tìm tất cảc các giá trị của m để phương trình:
(x - 2)log24(x - 2) = 2m(x – 2)3
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Giải
Phương trình đã cho được biến đổi thành
log24(x - 2).log2(x - 2) = m + 3log2(x - 2) (1)
Đặt t = log2(x – 2) thì (1) trở thành t2 – t = m (2). Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
Khi đó PT(2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn – 1 ≤ t1, t2 ≤ 1.
Đặt f(t) = t2 – t với – 1 ≤ t ≤ 1,
Bài 11 (tt)
Bảng biến thiên:






Từ đó ta có kết quả: - 1/4 < m ≤ 0.
Bài 12. Với những giá trị nào của m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Giải
Do m4 – m2 + 1 > 0 với mọi m, nên phương trình đã cho tương đương với PT:
Để PT có 4 nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = |x2 – 4x + 3| tại 4 điểm phân biệt. Ta có

Bài 12 (tt)
Ta có bảng





Từ đó suy ra PT có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 < a < 1. Khi đó ta có:



Vậy để PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì 0 < |m| < 1.
Bài 13. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
x4 – (m – 1)x3 + 3x2 – (m – 1)x + 1 = 0
Giải
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm, chia hai vế PT cho x2 ≠ 0 ta được:

Đặt phương trình trên trở thành


Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT(*) có nghiệm t với |t| ≥ 2, điều này tương đương với đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ t với |t| ≥ 2.
Bài 13 (tt)
Ta có với mọi t mà |t| ≥ 2.
Do đó hàm f(t) đồng biến với mọi giá trị t thỏa mãn |t| ≥ 2.

Vậy để PT có nghiệm thì
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 2 – x2 = 2cosx.
c) 2log5(x+3) = x. d) 3x + 5x = 6x +2.
Bài 2: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 3: Tìm m để phương trình:
có nghiệm duy nhất.
Bài 4: Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 5: Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất

Bài 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m(x2 +3x +3) +x +1= 0