Số tam giác & Đa thức Faulhaber

Số tam giác và Đa thức Faulhaber
I.-Số tam giác
1/- Khái niệm & định nghĩa
a/- Số tam giác thứ n là tổng các số tự nhiên từ 1 tới n


Có thể xem đây như là công thức của số hạng; Mỗi số tam giác là hệ số kép: Số tam giác thứ n là 1 số của sự ghép cặp được lựa chọn từ n+1 đối tượng.
Ứng dụng dạng này giải quyết “Bài toán bắt tay”, - Khi cần đếm số lần bắt tay của mỗi người trong một căn phòng kín chứa n+1 người, đó là tổng số lần bắt tay 1 lần với mỗi người khác.
Chuỗi số tam giác (sequence A000217 in OEIS) cho n = 1, 2, 3... là:::1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
b/- Quan hệ với các số hình học khác
Số tam giác có quan hệ rất rông với các loại Số hình học khác. Đơn giản nhất là tổng của 2 số tam giác liên tiếp là một số chính phương. Về mặt đại số,


Một sự lựa chọn, những số giống như vậy có thể biểu diễn bằng hình minh hoạ:
16


25



Có vô số số tam giác đồng thời là số chính phương; Ví dụ: 1, 36 một vài trong số chúng có thể phát sinh từ công thức đệ quy đơn giản:

 với S1 = 1
Tất cả các số chính phương tam giác được tìm ra từ công thức đệ quy:
Sn = 34Sn − 1 − Sn − 2 + 2 với S0 = 0 và S1 = 1
Cũng vậy Số chính phương tam giác được xem như là tổng lập phương các số tự nhiên từ 1 tới n.
Tổng của n số tam giác đầu tiên là số tứ diện thứ n,:

Tổng quát hơn, hiệu số giữa số đa giác m cạnh thứ n và số đa giác m+1 cạnh thứ n là số tam giác thứ (n-1). Ví dụ: Số thất giác thứ 6 (81) trừ Số lục giác thứ 6 (66) là số tam giác thứ 5, 15.
2/-Những đặc tính khác của Số tam giác 
Số tam giác là bậc cơ sở cơ bản nhất của Công thức Faulhaber
Mọi số hoàn thiện chẵn đều là số tam giác (Được nhận bởi công thức 
 khi Mn là Số nguyên tố Mersenne). Cho đến nay chưa có số hoàn thiện lẻ nào được tìm ra, vì thế mọi số hoàn thiện đều là số tam giác.
3/- Công thức Faulhaber
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Công thức Faulhaber được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán học Johann Faulhaber. Công thức đó biểu diễn tổng:


dưới dạng một đa thức bậc (p + 1) với biến  n, và các hệ số liên quan đến số Bernoulli.
Công thức tổng quát:


Trong đó:
chỉ số j có giới hạn trên là p;
Bj là các số Bernoulli
B0 = 1,

, hoặc 
 (tùy vào trường hợp cụ thể),


B3 = 0,



 là tổ hợp chập j của (p+1), còn được kí hiệu là 
.
Ví dụ:
p = 2,

 là một đa thức bậc 3 biến  nvà các hệ số 


.
Bản thân Faulhaber không biết công thức tổng quát trên, ông chỉ tính tổng :
 với 17 giá trị đầu tiên của p, và rút ra một số nhận xét. Mãi sau này, công thức tổng quát mới được tìm ra khi người ta đã biết đến số Bernoulli.
Ví dụ
a/ - số tam giác

 
b/- số hình chóp vuông (tiếng Anh là square pyramidal number))


 (

 
c/- số tam giác vuông (tiếng Anh là squared triangular number))







Liên hệ với đa thức Bernoulli
Công thức tổng quát cũng có thể được viết dưới dạng:


với φj là đa thức Bernoulli bậcj.
II.- Đa thức Faulhaber
1/- Khái niệm
Một số tác giả sử dụng thuật ngữ đa thức Faulhaber để chỉ một dạng đa thức tổng quát khác. Bản thân Faulhaber nhận xét rằng, nếu p lẻ thì tổng:

là đa thức với biến là


Ví dụ:













Trường hợp p = 3, còn được biết đến với tên gọi Định lý Nicomachus.
Các đa thức ở vế phải còn được gọi là đa thức Faulhaber với biến a. Chúng đều chia được cho a 2 bởi vì với j > 1 lẻ thì số Bernoulli Bjbằng 0.
Faulhaber đã biết rằng với bậc p lẻ, nếu tổng được viết dưới dạng:


thì với bậc p chẵn tổng sẽ có dạng:


Vì a = n(