Sô phuc

Ôn tập : Số phức
Bài 1: Cho p, q là các số phức, q
0 . Chứng minh: nếu phương trình : x2 + px + q2 = 0 có 2 nghiệm có cùng modun thì
là số thực
Giải : Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Khi đó : x1 + x2 = - p, x1.x2 = q2
+


=
=

+ đặt : u =
=



= -
=
= u
u là số thực
Bài 2 : Cho a, b, c có :
=
=
, abc
0 .
a/ Giả sử phương trình :az2 + bz + c = 0 có 2 nghiệm có modun = 1 . Chứng minh : b2 = ac
b/ Giả sử mỗi pt az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0 có 1 nghiệm có modun = 1 . CM :
=
=

Giải : + Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình . Khi đó :

+
= 1

2 = 1
(z1 + z2)(
+
) = 1

z2 +
z1 + 1 = 0

z2 +
z1 + 1 = 0

(z1 + z2 )2 = z1z2
b2 = ac
b/ + ta cm : mỗi pt có 2 nghiệm có modun = 1. Thât vậy :
.
=
= 1 , giả sử
= 1

= 1
+ theo cm a có : b2 = ac
b2 – bc = ac – bc


=



=
( do
=
)
+ tương tự đối với pt bz2 + cz + a = 0 được
=
có đpcm
Bài 3: Chứng minh:
2 +
2 = (1 +
2)(1 +
2)

+ ta có :
2 = (1 + z1
)(
) = (1 + z1
)((1 + z2
)
+ tương tự :
2 = (z1 – z2)(
-
)
đpcm
Bài 4: Cho : z1 + z2 + z3 = 0 và
=
=
= 1. Chứng minh : z12 + z12 + z32 = 0
Ta có: z12 + z12 + z32 = (z1 + z2 + z3)2 - 2(z1z2 + z2z3 + z3z1) = - 2(
+
+
) = - 2
= 0
Bài 5: Tìm min, max của : P = |1 + z| + |1 − z + z2 | với 1
Đặt : z = x + yi ( x, y
R) . từ gt có : x2 + y2 = 1
x, y


+ |1 + z| = |z
+ z|
+ |1 − z + z2 |=
= r=
P = + với x


+ xét hàm số : P(x) =
minP =
, max P =

Bài 6 : Với z = x + yi và x > 1 . CM :
<
(1)
Ta có : (1)


<



<

(2 – x)2 + y2 < x2 + y2
x > 1 ( đúng do gt )
Bài 7: Tìm m để pt: z3 + (3 + i)z2 – 3z – ( m + i ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thực
+ Pt có nghiệm thực
pt có nghiệm dạng z = x ( x
R)
+ Thay z = x và pt được: (x3 + 3x2 – 3x – m ) + (x2 – 1)i = 0
m = 1 hoặc m = 5


Bài 8: Cho
=
=1. Chứng minh : P =
+
+

2
Ta có :
+


,
=
=

=


P

+
=
+

+ do : (y1 + y2)2
; (y1 – y2)2

P

+
=
+

2
+ dấu = xảy ra khi : y1 = y2 = 0, x1 + x2 = 0 và
=
=1 hay z1 = 1 và z2 = - 1
Bài 9: cho z1, z2, …, zn là các số phức có :
=
= … =
= a > 0 Chứng minh:
E =
là số thực
+ Ta có :
=
=
= E
E là số thực
Bài 10 : Giả sử z1,z2,z3 là các số phức với |z1| = |z2| = |z3| = R > 0.
Chứng minh rằngz1 − z2z2 − z3| + |z3 − z1z1 − z2| + |z2 − z3z3 − z1| ≤ 9R2 (1)
Giải : + Ta có : |z1 − z2z2 − z3|

VT(1)
z1 – z2=
2 – z2z12 = 2R2 – z2z1