Số nguyên tố cùng nhau

Số nguyên tố cùng nhau
I Giới thiệu :
Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau (tiếng Anh: coprime hoặc relatively prime) nếu chúng có ước chung lớn nhất là 1.
Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên.
Xác định được tập hợp P{a,b,c....n}-nguyên tố cùng nhau, có ứng dụng trong tim USCLN, khi cần qui đồng mẫu só.....
Một phương pháp xác định tính nguyên tố cùng nhau của hai số nguyên là sử dụng thuật toán Euclid (Mời xem bài “thuật toán Euclid”- NBS đưa cùng ngày trên trang này, Phần Số học lớp 6 ) .
II.- Các tính chất của 2 số NT cùng nhau
Các điều kiện sau tương đương với điều kiện a và b nguyên tố cùng nhau:
Tồn tại các số nguyên x và y sao cho ax + by = 1 (xem Đẳng thức Bézout).
Số nguyên b là khả nghịch theo modulo a: nghĩa là tồn tại số nguyên y sao cho by ≡ 1 (mod a). Nói các khác , b là một đơn vị trong vành Z/aZ của các số nguyên modulo a.
1./ Bổ đề Euclid
Ta cũng có: nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và br ≡ bs (mod a), thì r ≡ s (mod a) (vì ta có thể chia cho b khi theo modulo a). Tiếp theo , nếu a và b1 là nguyên tố cùng nhau, và a và b2 cũng nguyên tố cùng nhau, thì a và b1b2 cũng là nguyên tố cùng nhau(vì tích của các đơn vị lại là đơn vị).
Nếu a và b là nguyên tố cùng nhau và a là ước của tích b.c, thì a là ước của c. Đây là tổng quát hóa của bổ đề Euclid (nếu p là số nguyên tố, và p là ước của tích b.c, thì p là ước của b hoặc p là ước của c.
2./ Xét 2 số Nguyên tố cùng nhau trong Hệ tọa độ Descartes
Hai số nguyên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu đoạn thẳng nối điểm có tọa độ (a, b) trong Hệ tọa độ Descartes với gốc (0,0), không có điểm nào trên nó có tọa độ nguyên. (Hình 1.)


Hình 1. Thí dụ xét các số 4 và 9 là nguyên tố cùng nhau vì đường chéo không đi qua điểm nguyên nào trong hình chữ nhật
Xác suất để hai số nguyên chọn ngẫu nhiên là nguyên tố cùng nhau bằng 6/π2 (xem pi), xấp xỉ 60%.
Hai số tự nhiên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu 2a − 1 và 2b − 1 là nguyên tố cùng nhau.
Chẳng hạn, 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau ví có Ước chung lớn nhất là 3.
3/-Ký hiệu nhóm liên quan
Nếu n≥1 là một số nguyên, tập hợp các số nguyên tố cùng nhau với n, lấy theo modulo n, tạo thành một nhóm với phép nhân; nó được ký hiệu là (Z/nZ)× hoặc Zn*.
III.- Mở rộng cho n số nguyên
1./ Khái niệm:
Cho n số nguyên a1, a2, ..., an. Các số này được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của n số đó bằng 1.
Cần phân biệt với khái niệm nguyên tố cùng nhau từng đôi một. Các số a1, a2, ..., an được gọi là nguyên tố cùng nhau từng đôi một nếu từng cặp hai số khác nhau trong chúng là nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ: Ba số 3, 5, 15 là nguyên tố cùng nhau, nhưng không nguyên tố cùng nhau từng đôi một.
2./ Bổ đề
Giả sử a = bq + r, với a, b, q, r là các số nguyên, ta có:




Nguồn: Bách khoa toàn thư mở Wikipedia