SKKN Loại A Huyện

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN












TÊN SÁNG KIẾN:
“GIÚP HỌC SINH LỚP 7 ĐẾN LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT ĐA THỨC”


ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào các iớp chuyên toán,có bài toán xác định đa thức hoặc tính các giá trị của đa thức.
Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.
Nguyên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết nhưng rời rạc ở
các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng.
Qua đây nhằm củng cố kiến thức về đa thức tong chương trình toán từ lớp 7 đếnlớp9
rèn kỹ năng giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY
1 . Định lý Bơdu:
Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a bằng giá trị của đa thức
tại x=a
Tức là: f(x)=(x-a).g(x)+f(a
Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:
f(x)=(x-a).g(x)+R
f(a)=(a-a).g(a)+R=R (đpcm)
2. phương pháp hệ số bất định:
Giả sử: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì: a3 = b3 ; a2 = b2
a1 = b1 ; a0 = b0
Chứng minh:
Giả sử 4 giá trị phân biệt x1; x2; x3; x4 có: f(x1) = g(x1) (1)
f(x2) = g(x2) (2)
f(x3) = g(x3) (3)
f(x4) = g(x4) (4)
Đặt c3 =a3 – b3; c2 =a2 – b2 ; c1 =a1 – b1 ; c0 =a0 – b0
Trừ từng vế của (1) và (2) được:
c3(x13 – x23) + c2(x12 – x22) + c1(x1 – x2) = 0
Vì x1- x2 ( 0 nên
c3(x12 + x1x2 + x22) + c1(x1 – x2) + c1= 0 (5)
Tương tự từ (1) và (3) có :
c3(x12 + x1x2 + x32) + c2(x1 – x3) + c1= 0 (6)
Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho x2 – x3 ( 0 được:
c2 + c3(x1 + x2 + x3) = 0 (7)
Tương tự từ (1), (2), (4) có:
c2 + c3(x1 + x2 + x4) = 0 (8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:
c3 (x3 – x4) = 0
c3 =0 vì x3 – x4 ( 0
Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0. Từ đó và (6) được c1 = 0.
Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm.
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1:
Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,...) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa thức:
Bài toán 1: Xác định đa thức bậc 3 biết
f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22
Giải
Gọi đa thức cần tìm là:
f(x) = ax3 + bx3 + cx +d
Theo bài ra ta có:
f(0) = 1
d = 1
f(1) = 0
a + b + c = -1 (1)
f(2) = 5
4a + 2b + c = 2 (2)
f(3) = 22
9a + 3b + c = 7 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:


Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2
Vậy đa thức cần tìm là: f(x)=x2-2x+1
* Chú ý:
Để xác định được đa thức bậc