Quy về 1 biến

SÅÍ GIAÏO DUÛC & ÂAÌO TAÛO THÆÌA THIÃN - HUÃÚ
TRÆÅÌNG THPT HÆÅNG VINH

ÂÃÖÌ THI HOÜC SINH GIOÍI TOAÏN 12
(Thåìi gian laìm baìi :180 phuït )

Cáu 1: (3.5 âiãøm)
Cho f : [0;1]( [0;1] .
Giaí sæí f liãn tuûc trong âoaûn [0;1] vaì coï âaûo haìm trong khoaíng (0;1) vaì f(0) = 0 vaì f(1) =1
Chæïng minh ràòng täön taûi säú c thuäüc khoaíng (0;1) sao cho f(c) = 1- c.
Chæïng minh ràòng täön taûi hai säú a,b phán biãût thuäüc khoaíng (0;1) sao cho :
Têch f `(a) . f `(b) = 1.
Cáu 2 : (3.5 âiãøm)
Cho càûp säú thæûc (x;y) thoaî maîn âiãöu kiãûn : x-2y+4 = 0 .
Tênh giaï trë nhoí nháút cuía biãøu thæïc P =
Cáu 3 : (3âiãøm)
Cho tam giaïc ABC . Tçm quyî têch caïc âiãøm M sao cho :
a)
b)

Såí Giaïo Duûc & Âaìo taûo Thæìa Thiãn- Huãú
Træåìng THPT Hæång Vinh
TÄØ TOAÏN


ÂAÏP AÏN& BIÃØU ÂIÃØM CHÁÚM TOAÏN 12 ( HOÜC SINH GIOÍI)

Cáu 1 (3,5 âiãøm) :
a) * Âàût g(x) = f(x) + x -1 våïi x thuäüc âoaûn [0;1] 0.5 âiãøm
Thç g(x) cuîng liãn tuûc trãn âoaûn [0;1] 0.5 âiãøm
* g(0) = -1 < 0 , g(1) =1 > 0 0.5 âiãøm
* Suy ra : ( c thuäüc khoaíng (0;1) sao cho g(c) = 0 ( f(c) +c -1 = 0 ( f(c) = 1-c 0.5 âiãøm
b) *AÏp duûng âënh lê Lagràng cho f(x) trãn âoaûn (0;c) vaì (c;1) ta coï:
(a((0;c) sao cho : f ` (a) = 0.5 âiãøm
(b((c;1) sao cho : f `(b) 0.5 âiãøm
* Roî raìng a(b vaì têch f `(a) . f `(b) 0.5 âiãøm
Cáu 2 :(3.5 âiãøm )
* Biãún âäøi P= 0.5 âiãøm
Trong màût phàóng våïi hãû toaû âäü Oxy , goüi( laì âæåìng thàóng coï phæång trçnh x-2y+4 = 0
vaì caïc âiãøm M(x;y) , A(3;6) , B(5;8) thç P = MA + MB 0.5 âiãøm
Baìi toaïn tråí thaình tçm toaû âäü cuía âiãøm M thuäüc ( sao cho täøng MA + MB âaût giaï trë nhoí nháút.
0.25 âiãøm
* Roî raìng A,B nàòm vãö mäüt phêa cuía( 0.25 âiãøm
* Tçm âæåüc toaû âäü cuía âiãøm A` , âäúi xæïng cuía A qua ( , âoï laì : A` (5;2) 0.5 âiãøm
Våïi M thuäüc ( ta coï : MA + MB = MA` + MB ( A`B ( khäng âäøi)
Âàóng thæïc xaíy ra khi vaì chè khi A` , M , B thàóng haìng hay M chênh laì giao âiãøm cuía ( våïi âæåìng thàóng A` B. 0.5 âiãøm
* Tçm âæåüc phæång trçnh cuía âæåìng thàóng A`B laì : x ( 5 = 0 0.25 âiãøm
* Giaíi hãû phæång trçnhcho 0.25 âiãøm
* Váûy Min P = 6 khi x=5 vaì y 0.25 âiãøm

















Cáu 3 : (3 âiãøm )
a) Goüi G laì troüng tám cuía tam giaïc ABC, I laì trung âiãøm cuía âoaûn thàóng BC.Ta coï G vaì I cäú âënh
M thuäüc quyî têch
( MG = MI 0.5 âiãøm
Váûy quyî tich caïc âiãøm M laì âæåìng trung træûc cuía âoaûn thàóng GI 0.5 âiãøm
b) Goüi P laì âiãøm sao cho ( tæïc laì P chia âoaûn AB theo tè säú k= 0.5 âiãøm
Q laì âiãøm sao cho 4( tæïc laì