Quỹ tích cung chứa góc

Vũ Thị Kim Chi - THCS Lê Quý Đôn
Trang bìa
Trang bìa:

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

TIẾT 46 + 47

§6. CUNG CHỨA GÓC

KIỂM TRA
1. Góc nội tiếp: Góc nội tiếp
Cho hình vẽ, hãy cho biết mối quan hệ giữa Latex(angle(AMB)), Latex(angle(ANB)) và latex(angle(APB)) ? latex(angle(AMB)) = latex(angle(ANB)) = latex(angle(APB))(vì là các góc nội tiếp cùng chắn 1 cung). 2.Các bài toán quỹ tích: Các bài toán quỹ tích
Hãy nối mỗi ý ở cột trái với một ý ở cột phải để được một khẳng định đúng:
Tập hợp (quỹ tích) các điểm cách điểm A cố định một khoảng R > 0
Tập hợp (quỹ tích) các điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng AB cố định
Tập hợp (quỹ tích) các điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh của góc đó
Tập hợp (quỹ tích các điểm cách đều đường thẳng a cố định một khoảng 3 cm
BÀI MỚI
Cách giải bài toán quỹ tích: CUNG CHỨA GÓC

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất T là một hình H nào đó,ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H.

(Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình H trước khi chứng minh).

Bài toán quỹ tích "Cung chứa góc": I. Bài toán quỹ tích "cung chứa góc"
latex(angle(AMB) = alpha ( 0^o < alpha < 180^o) AB cho trước Tìm quỹ tích(tập hợp) các điểm M GT KL

1.Bài toán

?1:
?1. Cho đoạn thẳng CD a)Vẽ 3 điểm latex(N_1, N_2,N_3) sao cho latex(angle(CN_1D) = angle(CN_2D) = angle(CN_3D)=90^o b)Chứng minh rằng các điểm latex(N_1,N_2,N_3) nằm trên đường tròn đường kính CD. ?2(T1):
?2. Vẽ một góc trên bìa cứng (chẳng hạn góc latex(75^o)). Cắt ra, ta được một hình mẫu như phần gạch chéo ở hình 39. Đóng hai chiếc đinh A,B cách nhau 3 cm trên một tấm gỗ phẳng. Dịch chuyển tấm bìa trong khe hở sao cho hai cạnh của góc luôn dính sát vào hai chiếc đinh A,B. Đánh dấu các vị trí latex(M_1,M_2,M_3,..M_10) của đỉnh góc (latex(angle(AM_1B) = angle(AM_2B) = ...=angle (AM_10B) = 75^o)). Qua thực hành,hãy dự đoán qũy đạo chuyển động của điểm M. ?2(T2):
Chứng minh : Chứng minh
Xét 1/2 mặt phẳng có bờ AB a) Phần thuận Với mọi điểm M có tính chất latex(angle(AMB)=alpha),AB cho trước thì M thuộc cung AmB của đường tròn (O) cố định. Ta c/m tâm O của đường tròn chứa cung AmB là điểm cố định. Thật vậy: kẻ tia tiếp tuyến Ax thì latex(angle(xAB) = alpha) latex(=>) tia Ax cố định O latex(in Ay,Ay _|_) Ax (tại A) Mặt khác: O latex(in) d là đường trung trực của AB latex(=>) O cố định Vậy M thuộc cung AmB cố định. Chứng minh T2: Chứng minh
Chứng minh T3: Chứng minh
b) Phần đảo latex(AA) M` latex(in) cung AmB thì latex(angle(AM`B) = alpha) Thật vậy Nếu M` latex(in) cung AmB thì latex(angle(AM`B) = angle(xAB) = 1/2) sđ cung AnB (2 góc cùng chắn cung AnB) mà latex(angle(xAB) = alpha => angle(AM`B) = alpha) Chứng minh T4: Chứng minh
Tương tự, trên nửa mặt phẳng đối của nửa mặt phẳng đang xét,ta còn có cung Am`B đối xứng với cung Amb qua AB cũng có tính chất như cung AmB Kết luận: Kết luận
c) Kết luận Với đoạn thẳng AB và góc latex(alpha (0^o < alpha < 180^o)) cho trước thì quỹ tích các điểm M thoả mãn latex(angle(AMB) = alpha) là hai cung chứa góc latex(alpha) dựng trên đoạn AB. Chú ý: Chú ý
Chú ý * Hai cung chứa latex(alpha) nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB * Hai điểm A,B đựơc coi là thuộc quỹ tích. * Khi latex(alpha = 90^o) thì hai cung AmB và Am`B là hai nửa đường tròn đường kính AB. Như vậy ta có: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. * Trong hình 41, cung AmB là cung chứa góc latex(alpha) thì cung AnB là cung chứa góc latex(180^o - alpha). Cách vẽ cung chứa góc: 2. Cách vẽ cung chứa góc
* Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB. * Vẽ tia Ax tạo với AB góc latex(alpha). * Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với A. Gọi O là giao điểm của Ay với d. * Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. * Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc latex(alpha). LUYỆN TẬP
Bài tập 1(T1): Bài tập 45(SGK-Trang 86)

Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Bài tập 1(T2): Bài tập 45(SGK-Trang 86)
Hình thoi ABCD; AC latex(nn) BD = {O} AB cố định Tìm quỹ tích điểm O GT KL *Thuận: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Ta có AC latex(_|_) BD tại O (t/c hình thoi) Do đó latex(angle(AOB) = 90^o) (không đổi) Nên O latex(in) đường tròn đường kính AB. Bài tập 1(T3): Bài tập 45(SGK-Trang 86)
* Đảo: Lấy O` latex(in) đường tròn đường kính AB. Nối AO` và trên tia đối của tia O`A lấy C` sao cho O`A = O`C. Nối BO` và trên tia đối của tia O`B lấy D` sao cho O`B = O`D`. Nối AD`, D`C`, BC` ta được tứ giác ABC`D` .Vì O` latex(in) đường tròn đường kính AB nên latex(angle(AOB) = 90^o)hay AC` latex(_|_) BD`. Mặt khác :O`A = O`C` và O`B = O`D` (cách dựng). Vậy ABC`D` là hình thoi có cạnh AB cố định với AC` latex(nn)BD` = {O}. *Kết luận: Quỹ tích các giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi có cạnh AB cố định là đường tròn đường kính AB (trừ 2 điểm A,B). Bài tập 2 (T1): Bài tập 50(SGK- Trang 87)
Cho đường tròn đường kính AB cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tai đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB. a)Chứng minh latex(angle(AMB)) không đổi. b)Tìm tập hợp các điểm I nói trên. Bài tập 2 (T2): Bài tập 50(SGK-Trang 87)
Bài tập 2 (T3): Bài tập 50(SGK-Trang 87)
Bài tập 2 (T4): Bài tập 50(SGK-Trang 87)
a)Vì latex(angle(BMA) = 90^o) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn),nên trong tam giác vuông BMI, có: tglatex(angle(AIB) = (MB)/(MI) = 1/2 => angle(AIB) ~~26^o34`). Vậy latex(angle(AIB)) không đổi. b) *Phần thuận: Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc latex(26^o34`). Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc latex(26^o34`) dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung AmB và Am`B). Tuy nhiên, khi M trùng A thì cát tuyến AM trở thành tiếp tuyến latex(A_1A A_2). Khi đó, điểm I trùng latex(A_1) hoặc latex(A_2). Vậy điểm I chỉ thuộc hai cung latex(A_1mB) và latex(A_2m`B). Bài tập 2 (T5): Bài tập 50(SGK-Trang 87)
*Phần đảo: Lấy điểm I` bất kì thuộc cung latex(A_1mB) hoặc latex(A_2m`B), I`A cắt đường tròn đường kính AB tại M`. Trong tam giác vuông BM`I`, có latex(tgangle(I`) = (M`B)/(M`I`) = tg26^o34` = 1/2. Do đó M`I` = 2M`B. *Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung latex(A_1mB) và latex(A_2m`B) chứa góc latex(26^o34`) dựng trên đọan thẳng AB (latex(A_1A_2 _|_ AB) tại A).