Quỹ tích

QUYÕ TÍCH

I.DAÏNG ÑÖÔØNG TRUNG TRÖÏC

1 Cho ñieåm A thuoäc (O). Keû tieáp tuyeán xAy vaø laáy P di ñoäng treân xy. Tìm Quyõ tích trung ñieåm M cuûa OP khi P di ñoäng treân xAy

2 Cho nöûa ñöôøng troøn taâm (O) ñöôøng kính AB, keû baùn kính OC vuoâng goùc vôùi AB. Töø A veõ daây löu ñoäng AD caét OC taïi M
a/ CM: O, B, M, D thuoäc ñöôøng troøn
b/ Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa BM khi D di ñoäng treân cung BC

3 Cho A coá ñònh treân (O). Veõ tieáp tuyeán Ax laáy M di ñoäng treân Ax , veõ tieáp tuyeán MB.
a/ CM: O,B, M, A thuoäc ñöôøng troøn
b/ Keû AP ( MB, BQ ( MA. AP caét BQ ôû H. CM: OBHA laø hình thoi
c/ Cho I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MAB. Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm I khi M di ñoäng treân Ax

4 Cho ñöôøng troøn taâm (O). C di ñoäng treân (O) vaø A coá ñònh treân (O). Tìm quyõ tích taâm M cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc OAC

5 Cho nöûa ñöôøng troøn taâm (O) ñöôøng kính AB .Ax, By laø hai tieáp tuyeán cuûa (O). M di ñoäng treân nöûa troøn, Tieáp tuyeán ôû M caét Ax , By ôû A/, B/
a/ CM: A, A/, M, O vaø B, B/, M, O thuoäc ñöôøng troøn vaø xaùc ñònh taâm I vaø J cuûa hai ñöôøng troøn ñoù


b/ Tìm quyõ tích I, J khi M di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn

6 Cho (O; R) vaø cung AB = 900. Daây CD song song vôùi AB (C, D thuoäc cung AB lôùn) vaø ABCD laø töù giaùc loài
a/ Töù giaùc ABCD laø hình gì? Vì sao?
b/ Ñònh vò trí cuûa C, D ñeå ABCD laø hình vuoâng
c/ Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa CD khi CD di ñoäng song song vôùi AB

7 Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A vaø ñöôøng cao AH. Veõ goùc xHy = 900 quay quanh H. Hx caét AB taïi D, Hy caét AC taïi E
a/ CM: A, D, H, E thuoäc ñöôøng troøn
b/ Tìm quõy tích taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ADHE

8 Cho goùc xOy = 900 vaø ñieåm A coá ñònh trong goùc xOy, veõ goùc tAz = 900 quay quanh A sao cho At caét Ox ôû P, Az caét Oy taïi Q
a/ CM: O,P, A, Q thuoäc ñöôøng troøn
b/ Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa PQ

9 Cho goùc xOy = 900. Laáy M treân Ox coá ñònh vaø N di ñoäng treân Oy. Tìm quyõ tích taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc OMN

10 Cho goùc xOy = 900 vaø A coá ñònh trong goùc xOy. Veõ tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù B di ñoäng treân Ox vaø C di ñoäng treân Oy. Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa BC

11 Cho tam giaùc ABC coù N thuoäc BC, keû ND song song AC ( D thuoäc AB) vaø NE song song AB ( E thuoäc AC)
a/ CM: töù giaùc ADNE laø hình bình haønh


b/ Tìm quyõ tích giao ñieåm M cuûa AN vaø DE khi N di ñoäng treân BC

12 Cho ñoaïn AB coá ñònh vaø C di ñoäng treân AB. Veõ cuøng moät phía vôùi AB hai hình vuoâng ACDE vaø CBFG. Goïi O1 vaø O2 laø taâm caùc hình vuoâng, O1A caét O2B ôû K
a/ CM: tam giaùc AKB vuoâng caân
b/ CM : töù giaùc O1KO2C laø hình chöõ nhaät
c/ Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa O1O2

13 Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Keû hai tieáp tuyeán Ax, By. Tieáp tuyeán ÔÛ C vôùi nöûa ñöôøng troøn caét Ax vaø By ôû D vaø E
a/ CM: DE = AD + BE vaø goùc DOE = 900
b/ Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa DE khi C chaïy treân nöûa ñöôøng troøn

14 Cho hình chöõ nhaät ABCD. Moät goùc xAy = 900 quay quanh A, Tia Ax caét Bc ôû E, Ay caét CD ôû F, G laø ñænh thöù tö cuûa hình chöõ nhaät AEGF. Tìm quyõ tích taâm O cuûa cuûa hình chöõ nhaät AEGF

15 Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a, E laø ñieåm baát kyø naèm giöûa A vaø B, Ce caét AD ôû I, ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi CI ôû C caét AB ôû K
a/ CM: A. C, K, I thuoäc moät ñöôøng troøn taâm O vaø CI = CK
b/ Tìm quyõ tích taâm O laø trung ñieåm cuûa IK

16 Cho (O) vaø hai ñöôøng kính AA/ vaø BB/ vuoâng goùc vôùi nhau. Laáy moät ñieåm M tuøy yù treân cung nhoû AB. Ñöôøng thaúng A/M caét BB/ ôû I
a/ CM: O, I, M, A cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn



b/ Tìm quyõ tích ñieåm taâm O/ cuûa ñöôøng troøn qua 4 ñieåm treân khi M di ñoäng treân cung nhoû AB

17 Cho hai ñieåm coá ñònh A vaø B. Tìm quyõ tích taâm O cuûa nhöõng ñöôøng troøn maø töø ñoù hai ñieåm A vaø B coù theå veõ ñöôïc hai tieáp tuyeán AA/ = BB/ ( A/, B/ laø hai tieáp ñieåm)

18 Cho ñoaïn thaúng AB coá ñònh vaø ñieåm C treân AB. Veõ cuøng moät phía ñoái vôùi AB döïng caùc hình vuoâng ACDE vaø CBFG. Goïi O1 vaø O2 laø taâm caùc hình vuoâng ñoù. Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa O1O2 khi C chaïy treân A.

19 Moät ñieåm C chuyeån ñoäng treân ñoaïn thaúng AB cho tröôùc, döïng hai tam giaùc ñeàu ACD vaø BCE coù caïnh AC vaø BC vaø cuøng naèm veà moät phía cuûa AB. Tìm quyõ tích trung ñieåm cuûa DE

20 Tìm quyõ tích taâm cuûa moät ñöôøng troøn luoân luoân ñi qua hai ñieåm coá ñònh cho tröôùc

21 Cho 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng vaø AB = BC, Tìm quyõ tích ñieåm P maø PB laø phaân giaùc cuûa goùc APC

22 Töø moät ñöôøng troøn cho tröôùc coù hai ñieåm coá ñònh A vaø B döïng hai daây cung bieán thieân AC vaø BD coù chieàu daøi baèng nhau. Hai daây cung treân caét nhau ôû trong hay ôû ngoaøi ñöôøng troøn. Tìm quyõ tích giao ñieåm ñoù.



II. DAÏNG ÑÖÔØNG VUOÂNG GOÙC

1 Cho ñieåm A coá ñònh thuoäc ñöôøng thaúng d coá ñònh. Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm O laø taâm cuûa nhöõng ñöôøng troøn luoân luoân tieáp xuùc vôùi d ôû A.

2 Cho tam giaùc ABC coá ñònh, keû phaân giaùc AD cuûa goùc A. Laáy M di ñoäng treân BC. Keû Mx // AD caét AC taïi E vaø AB ôû F
a/ CM: tam giaùc AEF caân
b/ Tìm quyõ tích trung ñieåm P cuûa EF khi M di ñoäng treân BC

3 Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Keû hai tieáp tuyeán Ax, By. Tieáp tuyeán ÔÛ C vôùi nöûa ñöôøng troøn caét Ax vaø By ôû D vaø E
a/ CM: DE = AD + BE vaø goùc DOE = 900
b/ Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa DE khi C chaïy treân nöûa ñöôøng troøn

4 Cho hình chöõ nhaät ABCD. Moät goùc xAy = 900 quay quanh A, Tia Ax caét Bc ôû E, Ay caét CD ôû F, G laø ñænh thöù tö cuûa hình chöõ nhaät AEGF.
a/ Tìm quyõ tích taâm O cuûa cuûa hình chöõ nhaät AEGF
b/ Tìm quyõ tích ñieåm G

5 Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a, E laø ñieåm baát kyø naèm giöûa A vaø B, Ce caét AD ôû I, ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi CI ôû C caét AB ôû K
a/ CM: A. C, K, I thuoäc moät ñöôøng troøn taâm O vaø CI = CK
b/ Tìm quyõ tích taâm O laø trung ñieåm cuûa IK
c/ Töø E keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi IK ôû M, khi E di ñoäng treân AB, Tìm quyõ tích taâm M


d/ Ñaët BE = x. Tính CK, BK, IK theo x

6 Cho tam giaùc ABC caân taïi A noäi tieáp trong (O;R). M laø ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC, AM caét BC taïi S.
a/ CM:goùc ASB = goùc ACM
b/ CM: tam giaùc ACM ñoàng daïng vôùi tam giaùc ASC, ñoàng daïng tam giaùc BSM
c/ CM: khi M di ñoäng thì AM.AS khoâng ñoåi vaø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MSC luoân luoân tieáp xuùc vôùi AC
d/ CM: taâm K cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc MSC luoân luoân di ñoäng treân moät ñöôøng coá ñònh

7 Cho hình vuoâng ABCD. Laáy M treân BC vaø ngoaøi ñoaïn BC. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi A caét tia CD ôû P. Döïng hình chöõ nhaät AMNP
a/ CM: AMNP laø hình vuoâng
b/ Tìm quõy tích nhöõng ñieåm N khi M di ñoäng

8 Cho (O) ñöôøng kính AB = 4cm. Veõ daây AN, treân AN laáy M sao cho AM.AN = 5. Töø M keû MI vuoâng goùc vôùi AB taïi I.
a/ CM: AM.AN = AI. AB
b/ Tính AI
c/ Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm M

9 Cho tam giaùc ABC coù phaân giaùc trong laø AI. Taïi moät ñieåm di ñoäng D treân caïnh BC ta veõ moät ñöôøng song song vôùi AI, ñöôøng naøy caét AC taïi E vaø AB taïi F. Tìm quyõ tích trung ñieåm M cuûa EF khi d di ñoäng





10 Cho tam giaùc ABC coá ñònh, keû phaân giaùc AD cuûa goùc A. Laáy M di ñoäng treân BC. Keû Mx // AD caét AC taïi E vaø AB ôû F.Tìm quyõ tích trung ñieåm P cuûa EF khi M di ñoäng treân BC

11 Cho hình chöõ nhaät ABCD. Moät goùc xAy = 900 quay quanh A, Tia Ax caét Bc ôû E, Ay caét CD ôû F, G laø ñænh thöù tö cuûa hình chöõ nhaät AEGF. Tìm quyõ tích ñieåm G

12 Cho (O) ñöôøng kính AB = 4cm. Veõ daây AN, treân AN laáy M sao cho AM.AN = 5. Tìm quyõ tích ñieåm M

13 Cho goùc vuoâng xOy, treân Ox laáy ñieåm A coá ñònh vaø A khaùc O, B di ñoäng treân Oy.Tìm quyõ tích ñieåm C sao cho tam giaùc ABC ñeàu ( döïng tam giaùc ñeàu OAD coù ñænh D beân trong goùc xOy )

III. DAÏNG ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC

1 Cho goùc xOy = 900 vaø A coá ñònh treân Ox, B di ñoäng treân Oy. Veõ hình vuoâng ABCD coù hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi I
a/ CM: A, O, I, B thuoäc ñöôøng troøn
b/ Keû IH ( Ox, IK ( Oy. CM : IH = IK
c/ Tìm quyõ tích nhöõng ñieåm I khi B di ñoäng treân Oy

2 Cho hai ñöôøng thaúng caét nhau taïi A. Tìm quyõ tích taâm nhöõng ñöôøng troøn luoân luoân tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng troøn aáy

3 Cho tam giaùc ABC Treân ñöôøng keùo daøi cuûa hai caïnh AB vaø AC laáy hai ñieåm di ñoäng M vaø N sao cho BM = CN vaø goïi O laø trung ñieåm cuûa BC, töø O keû Ox song song vôùi AB vaø Oy song song vôùi AC.

Töø M vaø N keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét Ox ôû E vaø Oy ôû F
a/ CM : OE = OF
b/ CM : töù giaùc MENF laø hình bình haønh
c/ Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa MN

4 Cho hình vuoâng ABCD. Laáy M treân BC vaø ngoaøi ñoaïn BC. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi A caét tia CD ôû P. Döïng hình chöõ nhaät AMNP
a/ CM: AMNP laø hình vuoâng
b/ Goïi O laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo hình vuoâng AMNP. CM: tam giaùc CAN vuoâng taïi C
c/ Tìm quõy tích nhöõng ñieåm N khi M di ñoäng

5 Cho moät ñieåm M di ñoäng trong moät goùc vuoâng xOy coá ñònh. Goïi A vaø B laø chaân ñöôøng vuoâng goùc veõ töø M ñeán Ox, Oy. Qua M veõ moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB vaø treân ñoù veà hai phía ñieåm M laáy hai ñieåm I, J sao cho MI = MJ = AB( I laø ñieåm ôû trong goùc vuoâng xOy).
a/ CM: goùc AMJ = goùc AOM
b/ Tìm quyõ tích ñieåm I
c/ Tìm quyõ tích ñieåm J

6 Cho moät goùc xOy = 900, treân tia Ox laáy moät ñoaïn coá ñònh OA vaø treân tia Oy laáy moät ñieåm B di ñoäng. Döïng hình vuoâng ABCD vôùi hai ñöôøng cheùo caét nhau taïi I. Tìm quyõ tích ñieåm I khi B di ñoäng treân tia Oy

7 Cho tam giaùc ABC Treân ñöôøng keùo daøi cuûa hai caïnh AB vaø AC laáy hai ñieåm di ñoäng M vaø N sao cho BM = CN. Tìm quyõ tích trung ñieåm I cuûa MN



8 Cho hình vuoâng ABCD. Laáy M treân BC vaø ngoaøi ñoaïn BC. Ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi A caét