Quy hoạch thực nghiệm

KHOẢNG TIN CẬY CHO TỈ LỆ
Nếu biến ngẫu nhiên gốc không tuân theo luật phân phối chuẩn, việc xác định khoảng tin cậy cho EX sẽ rất phức tạp và đòi hỏi các kỹ thuật hiện đại hơn. Tuy nhiên trong trường hợp n đủ lớn, cả hai thống kê Z trong:𝐺=𝑍
𝑋−𝑎
𝜎
0
𝑛 và T trong
𝐺=𝑇
𝑋−𝐴
𝑠
𝑛 đều có phân phối xấp xỉ chuẩn N(0,1). Do đó các thủ tục ước lượng khoảng làm giống như bài toán phương sai
𝜎
2
𝜎
0
2 đã biết.
Ta xét một trường hợp cụ thể khi dấu hiệu X~ B(1,p) ( phân phối Béc nu li). Khi đó nếu ta chọn ra phần tử từ tập nền (theo dạng mẫu ngẫu nhiên) thì số lần xuất hiện dấu hiệu quan tâm
𝑋
𝑖 cùng phân phối với X. Như vậy
𝑋
1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑋
𝑖 chính là tần số ước lượng điểm của xác suất hay tỉ lệ 𝑝=𝐸𝑋. Mặt khác từ kết quả chương BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT, 𝑛
𝑋 sẽ có phân phối nhị thức B(n,p), từ đó 𝐸
𝑋=𝑃 và 𝑉
𝑋
𝑝(1−𝑝
𝑛. Nếu ta chọn thống kê (với 𝑓
𝑚
𝑛 là tần suất mẫu xuất hiện dấu hiệu quan tâm)
𝑍
𝑓−𝑝
𝑝(1−𝑝
𝑛 (*)
Thì khi n khá lớn 𝑍
𝐿
𝑁
0,1.

Bài toán 1 ( tìm khoảng tin cậy 1−𝛼 cho xác suất)
Dựa vào (*) ta có 2 cách đi tìm khoảng tin cậy khi n đủ lớn.

Chọn
𝛼
1
𝛼
2
𝛼
2, ta có

𝑧
𝑏
𝑓−𝑝
𝑝(1−𝑝
𝑛
𝑧
𝑏

𝑣ớ𝑖
𝑧
𝑏
𝑧
1
𝛼
2 (khoảng tin cậy đối xứng). Gỉai hệ bất phương trình trên đối với p
𝑛(𝑓−𝑝
2<𝑝(1−𝑝
𝑧
𝑏
2


𝑛
𝑧
𝑏
2
𝑝
2
2𝑛𝑓
𝑧
𝑏
2
𝑝+𝑛
𝑓
2<0.

Gỉai và tìm nghiệm phương trình bậc 2 ở vế trái, ta có 2 nghiệm


𝑝
1
𝑝
2
𝑛𝑓
1
2
𝑧
𝑏
𝑛𝑓
1−𝑓
1
4
𝑧
𝑏
2
𝑛
𝑧
𝑏
2

(**)

Và khoảng tin cậy cần tìm sẽ là
𝑝
1
𝑝
2với
𝑝
1
𝑝
2. Tuy nhiên việc tính toán theo (**) sẽ khá khó khăn.

Ta tìm ước lượng khoảng gần đúng theo cách khác. Để ý nếu n khá lớn, thống kê
𝑧
𝑓−𝑝
𝑓(1−𝑓
𝑛
𝐿
𝑁(0,1

Với 𝑉𝑋=𝑝(`1−𝑝) được thay bằng ước lượng điểm 𝑓(1−𝑓Bây giờ quy trình giải bài toán này đã có thể được áp dụng (𝑋 thay bằng f,
𝜎
0
2 thay bằng 𝑓
1−𝑓….)

𝑓
𝑓(1−𝑓
𝑛
𝑧
1
𝛼
2<𝑝<𝑓
𝑓
1−𝑓
𝑛
𝑧
1
𝛼
1

Từ đó:

a, Khoảng tin cậy đối xứng
𝑧
𝑏
𝑧
1
𝛼
2

( 𝑓
𝑧
𝑏
𝑓
1−𝑓
𝑛;𝑓
𝑧
𝑏
𝑓
1−𝑓
𝑛 )

b, Khoảng tin cậy phải
𝑧
𝑏
𝑧
1−𝛼 và
(𝑓
𝑧
𝑏
𝑓(1−𝑓
𝑛+∞ )

c, Khoảng tin cậy trái: với
𝑧
𝑏 như trên
𝑓
𝑧
𝑏
𝑓(1−𝑓
𝑛 )
Cuối cùng, nếu ký hiệu 𝜀 là độ chính xác của ước lượng khoảng đối xứng, ta có quan hệ:

𝜀
2
𝑓(1−𝑓
𝑛
𝑧
1
𝛼
2
2


Thí dụ Kiểm tra ngẫu nhiên 600 sản phẩm của một máy dap65 thấy có 24 phế phẩm. Với độ tin cậy 1−𝛼=95% hãy ước lượng tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy đó.
Gỉai:
Gọi p là xác suất sản xuất ra phế phẩm của máy trên
𝑛=600 𝑓
24