Ppgiai pt,bpt

PHẦN 2
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
QUY TRÌNH GIẢI
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.
Bước 2: Lựa chọn phương pháp:
1. Biến đổi tương đương.
2. Đặt ẩn phụ.
3. PP hàm số ( tính đơn điệu, GTLN, GTNN)
4. Đồ thị.
5. Điều kiện cần và đủ.
6. Đánh giá.
Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình.
Chú ý:
Nếu sử dụng pp biến đổi tương đương thì ta có thể bỏ qua bước 1.

Nếu lựa chọn phương pháp đặt ẩn phụ thì :
1. Với bất phương trình không chứa tham số có thể chỉ cần thiết lập điều kiện hẹp cho ẩn phụ.

2. Với bất phương trình chứa tham số phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.
BAØI TOAÙN 1: SÖÛ SUÏNG PP BIEÁN ÑOÅI TÖÔNG ÑÖÔNG
Với các dạng bất phương trình sau:
Dạng 1: Bất phương trình


Dạng 2: Bất phương trình



Hoặc

Dạng 3:
Bất phương trình




Hoặc






Chú ý:
Trong các phép biến đổi trên ta coi như f(x) và g(x) luôn có nghĩa
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
Bài giải:








KL: Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là :

Ví dụ 2: Giải bất phương trình
Bài giải:






KL: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :

Ví dụ 2: Cho bất phương trình
a) Giải bất phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm đúng với mọi x<1.
Bài giải:




a) Với m = 1, ta được :

KL: Với m = 1, bất phương trình (2) có tập nghiệm

b) Điều kiện để bất pt (3) có nghiệm đúng với mọi x < 1


KL: Vậy, với
, thì thoả mãn điều kiện bài toán.

BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PP CHIA KHOẢNG
Sử dụng tương tự như phương trình chứa giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
Bài giải:






KL: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :

Học sinh sẽ sai lầm khi biến đổi bất phương trình về dạng


Sau đó sử dụng định nghĩa để giải quyết bào toán trên là không đúng.





Ví dụ 1: Giải bất phương trình
Bài giải:
Lập bảng xét dấu các biểu thức: x2 - 4x , x - 5









Ta có các trường hợp sau:
TH1: Với


TH2: với 0 < x < 4


TH3: x > 5


KL: Bất pt có tập nghiệm
BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT GTTĐ
Tính chất 1:

Tính chất 2:

Tính chất 3:

Tính chất 4:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
Bài giải:


( |a-b| >|a|-|b| <=> b(a-b)<0 )



KL: Vậy, tập tập nghiệm của bất phương trình đã cho:





Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình
Bài giải:


Nếu m = 1,
Nếu m = -1,
Nếu m > 1,
Nếu -1 < m < 1,
Nếu m < -1 ,



BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PP ĐẶT ẨN PHỤ -DẠNG 1
Mục đích, sau khi đặt ẩn phụ để đưa bất phương trình về bất phương trình quen thuộc ( bất pt bậc hai hoặc các hệ bất pt đơn giản).
Vd 1: Cho bất phương trình
a) Giải (1) với
b) Giải và biện luận (1) theo m
Bài giải:

Đặt

a) Với


KL: Với , Bất phương trình có miền nghiệm

b) Giải và biện luận (1) theo m
TH1: Nếu nên (1) vô nghiệm
Th2: Nếu
(2) có nghiệm là
Do vậy, để (2) có nghiệm với thì điều kiện là:
Khi đó nghiệm của (2) là:



Kết luận:
Với , bpt (1) vô nghiệm

Với , Bất pt (1) có miền nghiệm là :


Bài toán 5:
Sử dụng pp đặt ẩn phụ dạng 2
Ý tưởng của pp này cũng giống như phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
VD: Giải bất phương trình:
(1)
Bài giải:

Đặt :




vô nghiệm

KL: Bất phương trình (1) vô nghiệm

Bài toán 6:
Sử dụng pp đặt ẩn phụ dạng 3
Đặt hai ẩn phụ cho hai biểu thức trong bất phương trình và khéo léo biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tích hoặc thành hệ bất phương trình.
Chú ý:

VD: Giải bất phương trình:

Bài giải:
Đặt :





KL: Bất phương trình (1) có nghiệm

Bài toán 7:
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Ta có hai hướng để thực hiện
Hướng 1: Thực hiện theo các bước
B1: Chuyển bpt về dạng f(x) > k (1)
B2: Xét hàm số y = f(x). Dùng lập luận để khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử đồng biến)
B3: Nhận xét:
- với do đó bpt vô nghiệm
- Với do đó bpt có nghiệm đúng.
KL: Vậy x > x0 là nghiệm của bất phương trình

Hướng 2

Thực hiện theo các bước
B1: Chuyển bpt về dạng f(u) B2: Xét hàm số y = f(x). Dùng lập luận để khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử đồng biến)
B3: Khi đó
-
VD: Giải bất phương trình:

Bài giải:
Xét hàm số
TXĐ: D = R
Đạo hàm :
Do y`>0 , với mọi x, nên hàm số luôn đồng biến trên R
Mặt khác , ta có: f(1) = 0
Vậy : f(x) > f(1) suy ra : x > 1
KL: Bất phương trình (1) có nghiệm x > 1

VD2: Giải bất phương trình:

Bài giải:


Xét hàm số
hàm số luôn đồng biến
Khi đó


KL: Bất phương trình (2) có nghiệm với mọi x.
Bài toán 8:
Sử dụng phương pháp đồ thị hàm số

Bằng cách vận dụng khéo léo đồ thị và đặc tính của sự tương giao các đồ thị ta cũng có thể thực hiện được bài toán "Giải và biện luận bất phương trình" bằng đồ thị .

VD: Giải và biện luận bất phương trình:

Bài giải:
Xét pt:
nếu pt có nghiệm x1,x2 thì
Xét pt:
nếu pt có nghiệm x3,x4 thì
Vẽ đồ thị hàm số:
y=x2-4x+3
||y=|x2-4x+3|
Biện luận
Dựa vào đồ thị ta có
Với� , bpt vô nghiệm.
Với 0 < m < 1 , bpt có nghiệm trong
Với m = 1, bpt có nghiệm:
Với m > 1 , bpt có nghiệm trong
Bài toán 9:
Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ
Phương pháp này khá hiệu quả cho một lớp các bài toán sau: Tìm điều kiện của tham số để bpt:
Có nghiệm duy nhất.
Có nghiệm đúng
Tương đương với một phương trình hoặc một bất pt khác.

VD: Tìm m để bpt sau có nghiệm duy nhất:

Bài giải:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm x = x0 suy ra
-x0 cũng là nghiệm của (1).

Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi :
Thay x0 = 0 vào (1) ta được:
Điều kiện đủ:
Với m = 0, (1) trở thành:


x = 0 là nghiệm duy nhất

KL: Với m = 0 , bpt có nghiệm duy nhất.

VD2: Tìm m để bpt sau có nghiệm đúng
Bài giải:
Điều kiện cần:
(2) Có nghiệm đúng với
nên (2) cũng có nghiệm với x = 1 và x = 2.
Tức là , ta có:


Với m = -8 là điều kiện cần để (2) có nghiệm đúng với

Điều kiện đủ:
Với m = -8 , (2) trở thành:





KL: Với m = -8 , bpt có nghiệm đúng với

Bài toán 10:
Sử dụng phương pháp đánh giá
Kiến thức vận dụng cho pp này:
Tam thức bậc hai
Các bất đẳng thức cơ bản
Tính chất của trị tuyệt đối,.


VD1: Giải bpt sau
Bài giải:

Xem (*) như là pt b2 theo x.
Ta có :

Nên (*) luôn đúng với mọi x.
KL: Bpt (1) có nghiệm với mọi x.

VD2: Giải bpt sau
Bài giải:
Điều kiện:
Sử dụng bđt Cauchy, ta có:



KL: Bpt (2) có nghiệm đúng với

Một số bất phương trình được giải bằng nhiều phương pháp
Mục đích :
a) Giúp các em học sinh đã tiếp nhận được đầy đủ kiến thức toán THPT trở nên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải .
b) Giúp các em học sinh lớp 10, 11 lựa chọn phương pháp cho phù hợp với kiến thức của mình.
VD1: Giải và biện luận bất pt:
HD:(việc lừa chọn pp)
Cách 1: Lựa chọn pp biến đổi tương đương.
ĐK: m > 0

Ta có :
Bảng xét dấu:

Cách 2: Lựa chọn chia khoảng





Ta tiến hành giải và biện luận (I), (II).
B�n c?nh dĩ cịn cĩ pp d? th? d� n�u.