PP Hệ

Bài 1: Trong hệ tọa độ
cho hình thoi
cạnh
có phương trình là:
hai đỉnh
lần lượt thuộc các đường thẳng

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.


Giải:


Khi đó
và trung điểm của
là

Theo tính chất hình thoi ta có :

.
Suy ra
.
Khi đó
;
.



Suy ra
.

Bài 2: Trong hệ tọa độ
cho hai đường thẳng
và
. Giả sử
cắt
tại
Viết phương trình đường thẳng
đi qua
cắt
và
tương ứng tại
sao cho
.










Giải:

cắt
tại
Chọn
ta có

Lấy
sao cho






Suy ra đường thẳng
là đường thẳng qua
và song song với

Suy ra phương trình
hoặc





Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M
thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.




Giải:
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có:

Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – 1 = 0


Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:

AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:

suy ra x =
suy ra BI =

Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính

Tọa độ B là nghiệm của hệ:
B có hoành độ dương nên B( 1; -1)



Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng
và hai điểm A(1; 0), B(3; - 4). Hãy tìm trên đường thẳng
một điểm M sao cho
nhỏ nhất.

Giải:
Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đó I(1 ; -2), J(
)
Ta có :

Vì vậy
nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên đường thẳng

Đường thẳng JM qua J và vuông góc với
có phương trình: 2x – y – 8 = 0.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
. Vậy M(
)

Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm
và hai đường thẳng
;
cắt nhau tại A . Viết phương trình đường thẳng
đi qua P tạo với
,
thành tam giác cân tại A và có diện tích bằng
.


Giải :
Ta có
và
. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi
,
là: (1:
và (2:


tạo với
,
một tam giác vuông cân

vuông góc với (1 hoặc (2..
( Phương trình của
có dạng:
hay

Mặt khác,
qua
nên C = 25 ; C( = 77
Suy ra :
hay

Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng
( cạnh huyền bằng

Suy ra độ dài đường cao A H =
=

( Với
thì
( tm)
( Với
thì
( loại )

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh
điểm A thuộc Oy, điểm C thuộc Ox (
), góc
; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
. Xác định toạ độ điểm A và C.


Giải:
Gọi C(c;0); A(0;a); ta có:




Suy ra C(0 ;0) trùng với điểm O .Gọi H hình chiếu vuông góc điểm B trên Oy ta có tam giác BHA một nửa tam giác đều .Nên BA =2 BH do đó HA =

hoặc

Vậy có
, B(-2 ;1) , C(0 ;0) hoặc
, B(-2 ;1) , C(0 ;0)

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
và điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d đi qua A, gọi B, C là giao điểm của đường thẳng d với (C). Lập phương trình của d sao cho
nhỏ nhất.



Giải:
Tâm đường tròn
nên điểm A nằm ngoài (C)
Ta có
AB.AC = d2- R2 = 16 ; và
dấu “=”xẩy ra
AB =