Pp giải toán không điển hình ở tiểu học: một số bài toán về dãy số và nhóm số

BÀI 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
DÃY SỐ VÀ NHÓM
Chương 3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG ĐIỂN HÌNH Ở TIỂU HỌC
CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ NHÓM SỐ
Điền thêm vào số hạng sau, giữa hoặc trước một dãy số
Xác định số A có thuộc dãy số đã cho hay không.
Tìm số số hạng của dãy số
Tìm tổng các số hạng của dãy số
DẠNG 1: ĐIỀN THÊM SỐ HẠNG VÀO SAU, GIỮA HAY TRƯỚC MỘT DÃY SỐ
Để giải được dạng toán này ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật thường gặp của dãy số là:
1. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a khác 0.
2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên b khác 0.
3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó.
4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với chỉ số thứ tự của số hạng đố rồi cộng thêm một số tự nhiên a khác 0.
6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó.
7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó.
8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó.
9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự.
10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên a rồi nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó.
Ví dụ 1: Viết tiếp ba số hạng của dãy sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22;…
1; 2; 6; 24;…
Bài giải:
a) Nhận xét:
Số hạng thứ tư của dãy số là: 6 = 0 + 2 + 4
Số hạng thứ năm của dãy số là: 12 = 2 + 4 +6
Số hạng thứ sáu của dãy số là: 22 = 4 + 6 +12
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó.
Áp dụng quy luật này, ta có:
Số hạng thứ bẩy của dãy số là: 6 + 12 + 22 = 40
Số hạng thứ tám của dãy số là: 12 + 22 +40 = 74
Số hạng thứ chín của dãy số là: 22 + 40 + 74 = 136
Dãy số đã cho viết là: 0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;…
b) Nhận xét:
Số hạng thứ hai của dãy số là:
Số hạng thứ ba của dãy số là::
Số hạng thứ tư của dãy số là:
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với chỉ số thứ tự của số hạng đó.
Áp dụng quy luật này ta có:
Số hạng thứ năm của dãy số là:
Số hạng thứ sáu của dãy số là:
Số hạng thứ bảy của dãy số là:
Dãy số đã cho viết là: 1; 2; 6; 24; 120; 720; 5040;…
Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên của dãy số:
….;24;27;30
Bài giải: Nhận xét:
Số hạng thứ mười của dãy số là:
Số hạng thứ chín của dãy số là:
Số hạng thứ tám của dãy số là:
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của nó nhân với 3.
Áp dụng quy luật này ta có:
Số hạng đầu tiên của dãy số là:
Ví dụ 3: Tìm số hạng thứ 50 của dãy số sau:
1; 4; 7; 10; …Biết dãy số có 10 số hạng.
Bài giải: Nhận xét:
Số hạng thứ hai của dãy số là:
Số hạng thứ ba của dãy số là:
Số hạng thứ tư của dãy số là:
Quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 3 nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó trừ đi 1.
Số hạng thứ 50 của dãy số là:
BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Tìm hai số hạng đầu của dãy số:
a)…;39; 42; 45;
b)…; 4; 2; 0;
c)…; 23; 25; 27; 29;
Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng.
Bài 2: Cho dãy các số chẵn liên tiếp: 2; 4; 6; 8…Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm.
Bài 3: Cho dãy các số lẻ liên tiếp: 1; 3; 5; 7…Hỏi số hạng thứ 2007 trong dãy là số nào? Giải thích cách tìm.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ A CÓ THUỘC DÃY SỐ ĐÃ CHO HAY KHÔNG?
Để giải được loại toán này, ta thường làm như sau:
Xác định đặc điểm của các số hạng trong dãy số.
Kiểm tra số a có thỏa mãn đặc điểm đó hay không?
Ví dụ1: Hãy cho biết:
a) Các số 50 và 133 có thuộc dãy số: 90; 95; 100;…hay không?
b) Số 1996 có thuộc dãy số: 2; 5; 8; 11; …hay không?
c) Số nào trong các số: 666; 1000 và 9999 thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24;…?
Giải thích tại sao?

Bài giải: a) Cả hai số 50 và 133 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:Các số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 50.Các số hạng của dãy số đã cho đều chia hết cho 5, mà 133 không chia hết cho 5.
b) Số 1996 không thuộc dãy số đã cho vì: các số hạng của dãy số khi chia cho 3 đều dư 2, mà 1996 chia cho 3 thì dư 1.
c) Cả ba số 666; 1000; 9999 đều không thuộc dãy số đã cho, vì:
- Mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với 2. Cho nên mỗi số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước nó là số chẵn, mà 666 : 2 = 333 là số lẻ.
Các số hạng của dãy số đều chia hết cho 3,mà 1000 không chia hết cho 3.
Các số hạng của dãy số (kể từ số hạng thứ 2) đều là số chẵn, mà 9999 là số lẻ.
BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Cho dãy số:
Tính tổng của 10 số hạng đàu tiên của dãy số trên
Bài 2: Hãy cho biết :
Các số 248 và 126 có thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24; …. hay không?
Số 2009 có thuộc dãy số: 2; 5; 8; 11;… hay không?
Số nào trong các số 166; 288 và 1244 thuộc dãy số: 1; 2; 2; 4; 8;….
DẠNG 3: TÌM SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ.
Đối với các dạng toán này,ta thường sử dụng công thức về toán trồng cây. Cụ thể là:
Số số hạng của dãy = số khoảng cách + 1
Đặc biệt, nếu quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với một số tự nghiên d thì:
Số số hạng của dãy = (số hạng đầu - số hạng cuối) : d + 1
Ví dụ1: Cho dãy số 11; 14; 17; 20;…; 68.
Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số đó thì số hạng thứ 2007 là số nào?
Bài giải:
a) Nhận xét:
Số hạng thứ 2 của dãy số là: 14 = 11 + 3
Số hạng thứ 3 của dãy số là: 17 = 14 + 3
Số hạng thứ 4 của dãy số là: 20 = 17 + 3
Vậy quy luật của dãy số đó là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 3.
Số số hạng của dãy số đó là: (68 – 11) : 3 + 1 = 20 (số hạng)
b) Nhận xét:
Số hạng thứ 2 của dãy số là:
Số hạng thứ 3 của dãy số là:
Số hạng thứ 4 của dãy số là:
Vậy số hạng thứ 2007 của dãy số đó là:
Ví dụ 2: Một người viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1đến 2007.Hỏi người đó đã viết bao nhiêu lượt chữ số?
Bài giải: Dãy số người đó viết ra là:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11…99,100….999,1000,….2007
Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4
Số lượt chữ số trong nhóm 1 là: (9 – 1) + 1 = 9 (lượt)
Số lượt chữ số trong nhóm 2 là: (lượt)
Số lượt chữ số trong nhóm 3 là: (lượt)
Số lượt chữ số trong nhóm 4 là: (lượt)
Số lượt chữ số người đó đã viết là:9 + 180 + 2700 + 4032= 6921(lượt)
BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Sách giáo khoa toán 5 có 184 trang. Hỏi người ta dùng bao nhiêu lượt chữ số để đánh số thứ tự các trang của cuốn sách đó?
Bài 2: Trong các số có 3 chữ số:
Có bao nhiêu số chẵn chia hết cho 9?
Có bao nhiêu số chia cho 4 dư 1?
Bài 3: Có bao nhiêu số:
Có ba chữ số khi chia cho 5 dư 1, dư 2?
Có bốn chữ số chia hết cho 3?
Có ba chữ số bé hơn 500 mà chia hết cho 4?
DẠNG 4: TÌM TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ.

Nếu dãy số là dãy số cách đều thì các tổng của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau. Vì vậy
Tổng các số hạng của dãy số bằng số hạng đầu cộng với số hạng cuối rồi chia cho 2.
Ví dụ 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên
Bài giải: Dãy một trăm số lẻ đầu tiên là: 1; 3; 5; 7;…; 199.
Ta có tổng 100 số lẻ đầu tiên là: (1 + 99) x 100 : 2 = 10000

Ví dụ 2: Cho dãy số: 1, 2, 3,…,195
a) Tính số chữ số trong dãy
b) Chữ số thứ 199 trong dãy là chữ số nào?
c)Tính tổng các chữ số trong dãy.
Lời giải:
a)Ta viết dãy số:
1,…,9 ;10,…,99 ;100,…,195
Số chữ số là: 9 + 180 + 96 x 3 = 189 + 288 = 477 (số)
b)Ta tính chữ số trên của từng đoạn dãy.
Vì 189<199<477 nên chữ số thứ 199 thuộc đoạn từ 100 đến 195.
Ta có 199 -189 = 10 từ đó ta có 10 : 3 = 3 (dư 1) nên chữ số cần tìm là chữ số hàng trăm của số thứ 4 trong dãy có ba chữ số. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 1.
c) Cách 1:Ta viết lại các số và bổ sung thêm các số 0, 196, 197, 198, 199.
0 1 2 3………………9
10 11 12………………9
100…………………..109
…………………………
190 191 ………………199
Có 200 số mỗi dòng và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 dòng Tổng các chữ số hàng đơn vị trong một dòng là: 1+2+…+9=45
Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 2 = 90.
Tổng các chữ số hàng dọc 10 dòng đếm bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng:
1 x 10 + 2 x 10 + 9 x 10 +…+ 9 x 10 = 450
Tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900
Tổng các chữ số hàng trăm là 100
Vậy tổng các chữ số này là: 950 + 900 + 100 = 1900
Tổng các chữ số của dãy ban đầu là:
1900 – (1+ 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830
Cách 2:
Ta bổ sung thêm 0 vào các số 196, 197, 198 vào dãy và xếp thành dãy 0;1;2;3;…;197;198;199. Ta ghép cặp: 0,199
1,198
……
99,100
Tổng sác chữ số mỗi cặp đều là 19. Vậy tổng các chữ số là:
99 x 100 = 1900
Sau khi bớt đi các chữ số bổ sung ta được tổng cần tìm là 1830
Ví dụ 3: Tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến n
Lời giải: Ta ghép các cặp 1 với n, 2 với n-1, 3 với n-2…(Khi đó các cặp không sắp thứ tự). Khi đó tổng các số trong mỗi cặp đều là n-1, mà có n-2 cặp nên tổng cần tìm là:



BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Cho một dãy số tự nhiên gồm các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau:
1 2 3 4 5 6 7 8 9…1980 1981 1982 1983.
Hãy tính tổng tất cả các chữ số đó.
(Đề thi học sinh giỏi toàn quốc năm 1983)
Bài 2: Tìm tổng của:
Các số có hai chữ số chia hết cho 3.
Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1.
100 số chẵn đầu tiên.
10 số lẻ khác nhau lớn hơn 20 và bé hơn 40.
Bài 3: Cho hình vuông có cạnh là 4cm. Nối trung điểm của các cạnh ta được hình vuông thứ hai. Nối trung điểm các cạnh của hình vuông thứ hai ta được hình vuông thứ ba. Từ hình vuông thứ ba ta cũng làm như vậy để được hình vuông thứ tư… cứ như thế để được hình vuông thứ 6 thì dừng lại.
Tính tổng diện tích của 6 hình vuông đó.
DẠNG 5: BÀI TẬP VỀ DÃY CHỮ.
Ví dụ 13: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy: TOQUOCVIETNAMTOQUOCVIETNAM….
a) Chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ gì?
b) Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ o?
c) Bạn An đếm được trong dãy có 2007 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
d) Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng,…Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy được tô màu gì?
Bài giải:
Nhóm chữ TOQUOCVIETNAM có 13 chữ cái. Ta có: 2007 : 13 = 154 (dư 5)
Mỗi nhóm chữ TOQUOCVIETNAM có 2 chữ t và cũng có 2 chữ O và 1 chữ I.Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ T thì trong dãy cũng có 50 chữ O và 25 chữ I.
Bạn ấy đếm sai vì số chữ O trong dãy không phải là số chẵn.
Ta gọi mỗi nhóm chữ được tô liền nhau trong dãy được tô màu: xanh, đỏ, tím, vàng là một nhóm màu. Ta có:
2007 : 4 = 501 (dư 3)
Vậy chữ cái thứ 2007 trong dãy là chữ thứ ba của nhóm màu thứ 502. Chữ đó được tô màu tím.
BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAMHOCCHAMLAM thành dãy:
CHAMHOCCHAMLAMCHAMHOCCHAMLAM…
Chữ số thứ 100 trong dãy là chữ gì?
Nếu người ta đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A?
Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C. Hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao?
Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, nâu, xanh, đỏ, tím, vàng, nâu,…Hỏi chữ cái thứ 2007 trong dãy có màu gì?