Pp giải pt,bpt

CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ
GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH


CHUYÊN ĐỀ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Báo cáo viên: Đoàn Tấn Lực
LỜI NÓI ĐẦU

Chuyên đề ñöôïc bieân soaïn nhaèm cung caáp cho ngöôøi ñoïc nhöõng kyõ naêng vaø phöông phaùp giaûi caùc phöông trình , baát phöông trình chöùa giaù trò tuyeät ñoái. Ñaây laø moät chuyeân ñeà maø hoïc sinh thöôøng gaëp trong giaûi toaùn ñaïi soá phoå thoâng, caùc em cuõng thöôøng hay lung tuùng khi gaëp daïng naøy. Vì vaäy vieäc nghieân cöùu chuyeân ñeà naøy laø heát söùc caàn thieát vaø coù yù nghóa quan troïng cho caùc em, noù trang bò cho caùc em nhöõng tri thöùc caàn thieát veà phöông phaùp giaûi toaùn trò tuyeät ñoái maø caùc em seõ gaëp ôû toaùn ñaïi soá phoå thoâng hay trong caùc kì thi tuyeån ñaïi hocï vaø cao ñaúng. Toâi hy voïng raèng, thoâng qua chuyeân ñeà naøy caùc em coù ñöôïc nhieàu ñieàu boå ích trong lónh vöïc toaùn hoïc cuûa mình.
Chuyên đề ñöôïc hoàn thành vôùi vieäc tham khaûo moät heä thoáng saùch, baùo hieän coù veà chuyeân ñeà naøy vaø söï ñoùng goùp taän tình cuûa caùc thaày coâ giaùo trong toå toaùn- tin Tröôøng THPT Laêk. Tuy nhieân khoâng theå traùnh khoûi nhöõng sai soùt trong quaù trình bieân soaïn, raát mong ñöôïc söï phaûn hoài cuûa caùc thaày coâ giaùo vaø caùc em hoïc sinh..
NỘI DUNG

PHẦN 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GTTĐ

Sơ đồ giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa cho phương trình, b?t pt.
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thích hợp.
PP1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
( đã sử dụng định nghĩa).
PP2: Phương pháp chia khoảng.
PP3: Sử dụng tính chât.
PP4: PP đặt ẩn phụ
PP5: Sư� dụng tính chất hàm số.
PP6: Phương pháp đồ thị.
PP7: Sử dụng điều kiện cần và đủ.
PP8: Phương pháp đính giá.
Bước 3: Kết luận nghiệm.
PHẦN 1


CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GTTĐ
PHƯƠNG PHÁP 1:
SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG



Xuất phát từ định nghĩa:

Chú ý: Khi sử dụng pp này ta có thể bỏ qua bước 1 để giảm độ phức tạp của bài toán.
Dạng 1: Phương trình dạng



Chú ý: Tập nghiệm của phương trình (1) là hợp của các tập nghiệm của (a) và (b).


n?u
n?u



Giải:





KL: Phương trình (1) có các nghiệm là



Ví dụ 1:Giải phương trình sau
Dạng 2: Phương trình dạng
Phương trình (2)


Hoặc


Chú ý: Nếu g(x) không chứa tham số ta sử dụng phép biến đổi (I)
Nếu f(x) không chứa tham số ta sử dụng phép biến đổi (II)

Trong trường hợp của f(x) và g(x) đều chứa tham số thì tuỳ vào độ phức tạp của f(x) và g(x) ta lựa chọn phép biến đổi (I) hoặc (II).










Ví dụ 1: Giải phương trình:
Giải:




KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm:

Ví dụ 2 : Cho pt
a) Giải phương trình khi
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhât.

Giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:



















Với , phương trình được chuyển về :








KL: Với phương trình có các nghiệm

là x = -1 và














b) Giải (b): (b) cho ta , nghiệm này chấp nhận được khi

Giải (a):, ta có
Nếu thì cả (a) và (b) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm.

Nếu thì phương trình (a) có nghiệm x =- 5/8, phương trình (b) vô gnhiệm, nên phương trình (3) có nghiệm duy nhất

Nếu ta chứng minh
được rằng (b) có ít nhất 1 nghiệm. Vậy pt (3) có nhiều hơn một nghiệm.


Kết luận

Với thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
PHƯƠNG PHÁP 2


PHÖÔNG PHAÙP CHIA KHOAÛNG
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG
Thường áp dụng cho các phương trình dạng:
Phương pháp

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa .
Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức dưới dấu gttđ.
Bước 3: Giải ( hoặc biện luận).
Bước 4: Kết luận:

Ví dụ 1: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện :

Lập bảng xét dấu hai biểu thưc: x - 4 và x + 3





Chia thành các khoảng:



Xeùt treân caùc khoaûng
Với x? -3


Với -3 < x < 4


Với


KL: Vậy pt có 4 nghiệm:
Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải:
Lập bảng xét dấu các biểu thức x2 - x và 2x - 4




Xét trên các khoảng
TH1:Nếu
(2) trở thành

TH2: Nếu
(2) trở thành

TH3:Nếu
(2) trở thành
KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm

PHƯƠNG PHÁP 3:


SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VỀ TRỊ TUYỆT ĐỐI
PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng các tính chất:

Tính chấ 1:

Tính chất 2: :

Tính chất3:

Tính chất 4:
Ch?ng minh
Sử dụng phép bđtđ:
Các bước thực hiện
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa (nếu cần).

Bu?c: Biến đổi phương trình về một trong bốn tính chất trên.

Bu?c 3: Giải ( hoặc biện luận).

Bu?c 4: Kết luận.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
Bài giải:
Điều kiện:
Viết lại pt dưới dạng:




KL: Phương trình có nghiệm là:
Ví dụ 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện
Ta có thể viết :
Pt đã cho



KL: Tập nghiệm của pt đã cho :
Vd 3: Giải phương trình
Giải:

Nhận xét rằng

PT (3) viết lại:






KL: Vậy nghiệm của pt là : [0;1] và [3;4]


Vd 4: Giải phương trình
Giải:

Nhận xét rằng

PT (3) viết lại:





KL: Vậy nghiệm của pt là : (-?;0] và [3;?)


PHƯƠNG PHÁP 4




Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1

Là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ.
Tiến hành theo các bước:

Bứớc 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn phụ.
Bước 2: Đưa phương trình về dạng quen thuộc.
Bước 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trình.
Bước 4: Kết luận,
Ví dụ 1: Cho phương trình:
a) Giải phương trình khi m =1
b) Giải và biện luận pt theo m
Giải
Đặt t=| mx - 2 | + 1 , điều kiện

Khi đó, pt được biến đổi về dạng:
Ta có:


a) Với m = 1, Phương trình có 3 nghiệm x=1, x =2, x=3
b) Ta có ,
với m = 0 , (1) vô nghiệm.
Với m?0 , (1) có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Cho phương trình
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Giải và biện luận pt theo m.
Giải
Điều kiện:
Với x = 1 , pt (2) trở thành 2 = 0 ( mâu thuẩn)
Với x = -1,
Với | | x| > 1|
, phương trình

Đặt
Khi đó:
(2) trở thành: t2 -- (m+1)t + m = 0
Với t = 1, ta có (pt vô nghiệm)

Với t = m, ta có

a) Với m =2, ta được
thoả mãn điều kiện.

b) Với m < 0 hoặc m = 1, phương trình (2) vô nghiệm.

Với , phương trình có nghiệm

Kết luận:: Với m < 0 hoặc m =1 thì pt (2) vô nghiệm.

Với phương trình (2) có nghiệm

Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 2

Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ các hệ số vẫn còn chứa ẩn.

Phương pháp này thường được sử dụng với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó, hoặc nếu biểu diễn được thì công thức lại quá phức tạp.
Vd1: Giải phương trình:

Giải
Viết lại pt dưới dạng:
Đặt
trở thành : t2 - - (x+2)t + 2x = 0 (1`)
Ta có
Do đó


KL: Phương trình đã cho có 6 nghiệm:

Vd2: Cho phương trình:
a) Giải pt khi m =2
b) Giải và biện luận pt theo m
Giải
Phương trình được viết lại:
Đặt
(2) Trở thành : t2 - - (x+2m)t + 2mx = 0 (2`)
Ta có
Do đó:


Với m = 2, khi đó










Vậy , với m = 2 , phương trình có 3 nghiệm:
x = 1, x = 6, x = -2


b) Ta có ngay kết luận
Với , (I) vô nghiệm, nên pt đã cho vô nghiệm.
Với , (I), có nghiệm , nên pt đã cho có nghiệm
Với m > 0 , (I) có nghiệm , vậy pt đã cho có nghiệm

Phương pháp 5


SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Phương pháp
Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong đoạn [a;b] ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra sự liên tục của hàm số trên[a; b].
Bước 2: Chọn các số a < T1 < T2 <.

Bước 2: Kết luận

Ví dụ 1: Cho phương trình
a) Giải pt với m = 2/3
b) CMR , pt có 4 nghiệm phân biệt
Bài giải:
Đặt , ta được :
a) với m=2/3 , phương trình có dạng:





KL: Với m = 2/3, phương trình có 4 nghiệm phân biệt
b) Xét hàm số f(t) = t3 -3mt2 +1 liên tục trên R

Ta có:


Suy ra : f(-1).f(0) < 0, (2) có một nghiệm loại vì
f(0).f(2m) < 0 , (2) có một nghiệm , pt đã cho có hai nghiệm
f(2m).f(3m) < 0, (2) có một nghiệm , pt đã cho có hai nghiệm
KL: Vậy với mọi m > 1, phương trình đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt

Phương pháp 6


SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Phương pháp
Hướng 1:
Bước1: Chuyển phương trình về dạng:f(x) = k (1)
Bước 2: Xét hàm số y = f(x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu, ( giả sử hàm số đồng biến)
Bước 3: Nhận xét
+ Với x = x0 , tương đương f(x) = f(x0) = k, do đó x = x0 là nghiệm cuả pt.
+ Với x > x0 , tương đương f(x) > f(x0) = k, do đó phương trình vô nghiệm.
+ Với x < x0 , tương đương với f(x) < f(x0) = k, do đó phương trình vô nghiệm.
KL: Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x = x0.


Hướng 2: Thực hiện theo các bước

Bước1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x) (2)
Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0), dó đó x = x0 là nghiệm của phương trình
Bước 2: Xét hàm số y = f(x) và y = g(x). Dùng lập luận khẳng định rằng f(x) là hàm đồng biến ( hoặc nghịch biến) còn g(x) là hàm hằng hoặc hàm nghịch biến (đồng biến).
KL: Phương trình đã cho có nghiệm duy nh?t x = x0:

Hướng 3: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(u)=f(v) (3)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x)
Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu trên D.

Bước 3: Khi đó
Ví dụ 1:Giải phương trình
Bài giải:

Nh?n th?y x = 2 l� m?t nghi?m của pt (1)
Xét hàm số
Tập xác định : D = R


Suy ra hàm số đồng biến trên R
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
V?y x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Ví dụ 2:Giải và biện luận phương trình
Bài giải
Phương trình (2) được viết laị dưới dạng


Nhận thấy, f(t) = t3 + t là hàm số đồng biến trên R
Khi đó:

Giải và biện luận
a) Giải và biện luận (I)
Với m = 1 thì (3) vô nghiệm, nên (I) vô nghiệm
Với thì , nó là nghiệm của (3)
b) Giải và biện luận (I)
Với m = -1, thì (4) nhận mọi giá trị x làm nghiệm, vậy (II) nhận mọi x < 1 làm nghiệm.
Với , , và nó cũng là nghiệm của (II).

KL:

Với m < -1, phương trình có nghiệm x = 0.
Với m = -1 , phương trình có nghiệm
Với -1 < m < 1, phương trình có nghiệm
và x = 0
Với m> 1 , phương trình có nghiệm x = 0

PHƯƠNG PHÁP 7


SỬ DỤNG GTLN VÀ
GTNN CỦA HÀM SỐ
Phương pháp
Với phương trình có chứa tham số dạng:
f(x, m) = g(m) (1)
Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Lập luận số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đths (C): y = f(x,m) và đường thẳng (d): y = g(m) song song với trục Ox.
Bước 2: Xét hàm số y = f(x, m)
Tìm tập xác định D
Tính đạo hàm y`, rồi giải phương trình y` = 0.
Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Kết luận

Phương trình có nghiệm

, với giả thiết rằng min, max tồn tại trên D.
Phương trình có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt.
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi (d) không có điểm chung với (C).

Ví dụ : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
Số nghiệm của phương trình (1) là số giáo điểm của đồ thị hàm số y=|x-2|(x+1) và đường thẳng
y = -m
Xét hàm số




( Dành cho 10, 11 chưa biết đạo hàm)

Vẽ (P1) : y = x2 - x - 2
Vẽ (P2) : y = -x2 + x + 2
Khi đó, đồ thị của hàm số gồm hai phần
Phần đồ thị (P1) : y = x2 - x - 2 ứng với
Phần đồ thị (P2): y = -x2 + x + 2 ứng với x < 2.

Biện luận
Nếu , phương trình có nghiệm duy nhất


Nếu , phương trình có hai nghiệm phân
biệt


Nếu , phương trình có 3 nghiệm phân biệt

( Dùng cho học sinh khi biết đạo hàm)



Lập bảng biến thiên:





Dựa vào bảng biến thiên hs có thể cho kết quả .

PHƯƠNG PHÁP 8


SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ


Các dạng toán thường gặp
Tuỳ theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình
Tìm m để phương trình có k nghiệm phân biệt
Chú ý: Khi sử dụng phương pháp giải này thì cần nắm được phép suy đồ thị.

Dạng 1: Ta có

Đi vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C). Đồ thị , được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách: (gồm hai phần)
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với phần
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ứng với phần y < 0 qua trục hoành.



ví duï: Veõ ñoà thò haøm soá y=|x2-2x-3|
Vẽ đths y=x2 - 2x -3
Đỉnh I(1; -2)
y= x2 -2x-3
y=|x2 -2x-3|
Dạng 2 : D? th? d?ng


Đi vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C). Đồ thị
, được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) vừa giữ nguyên đó qua trục tung.
( Hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua trục tung)

Ví duï: Veõ ñoà thò haøm soá y=x2-2|x|-3
Vẽ đths y=x2 - 2x -3
Đỉnh I(1; -2)
y= x2 -2x-3
y=x2 -2|x|-3
Dạng 3: Đồ thị dạng:

Ta có


Vẽ đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = f(x) , được suy ra từ đồ thị (C) bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị (C) với phần v(x) > 0.
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ứng với v(x) < 0 qua trục hoành.
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ đths (C)

Ví dụ 1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
HD:
Số nghiệm của phương thình (1) là số giao đi?m của đồ thị hàm số
và đường thẳng y = m.

Vẽ đồ thị hàm số

Đồ thị (C) được vẽ bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (*) ứng với phần
- Lấy đối xứng phần đồ thị (*) ứng với y < 0 qua trục hoành.

y=x+1
y=-x-1
Biện luận
Dựa và đồ thị ta có:
m < 1 , phương trình (1) vô nghiệm
m =1, phuơng trình (1) m?t nghi?m
1N?u m = 3, pt (1) có 3 nghi?m phân biệt.
N?u m>3, pt(1) có 4 nghi?m pb.

Ví dụ 2: Biệ luận theo m số nghiệm của phương trình
HD:
Số nghiệm của phương thình (1) là số giao điẻm của đồ thị hàm số
và đường thẳng y = m.

Vẽ đồ thị :

Ta có:


Cách suy ra đồ thị (C) từ đt (C`)
Đồ thị (C) được vẽ bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị (C`) ứng với
- Lấy đối xứng phần đồ thị (C`) vừa giữ nguyên đó qua trục tung..

y=x-1
y=-x-1
Dựa và đồ thị ta có:

-2m=2 hoặc m <-2, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
m =-2 pt (2) có 1 nghi?m
m > 2 , phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt

Đề thi ĐH năm 2006
Câu1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 (C)
Câu 2: Tìm m để pt sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x|3 - 9x2 + 12|x| = m (1)
HD:
Pt (1) được viết lại : 2|x|3 - 9x2 + 12|x| - 4 = m - 4
Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số: y=f(|x|)= 2|x|3 - 9x2 + 12|x| - 4 (C`) và đường thẳng y=m-4
HD:
Đồ thị (C) Đồ thị (C`)






0 4y
x
1
1
2
-4
1
1
2
-1
-2
PHƯƠNG PHÁP 9


SÖÛ DUÏNG ÑIEÀU KIEÄN CAÀN VAØ ÑUÛ
PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả đối với một lớp các bài toán sau:
Tìm điều kiện tham số để.
Dạng 1: Phương trình có nghiệm duy nhất.
Dạng 2: Phương trình có nghiệm với mọi giá trị của một tham số.
Dang 3: Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc D.
Khi đó ta tiến hành theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa của pt.
Bước 2: Tìm điều kiện cần.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ.

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất:
Giải:
Điều kiện cần:
Giả sử (1) có nghiệm x0, ta có:
Nhận thấy


Tức là 2 - x0 cũng sẽ là nghiệm của phương trình.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì

Khi đó (1) tương đương với m = 0.
Đó chính là điều kiện cần để pt (1) có nghiệm duy nhất.
Điều kiện đủ:


Với m = 0, ta có là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy , với m = 0, phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm đúng với :
Giải:
Điều kiện cần:

Phương trình (2) có nghiệm đúng với
là nghiệm của phương trình
Tức là :
Đó chính là điều kiện cần để pt (2) có nghiệm đúng với

Điều kiện đủ:

Với m = 0, ta có , nhận thấy x = 0 , không là nghiệm của pt (2), nên m = 0 không thoả mãn.

Với m = -4, ta có , đúng với

Vậy , với m = -4, phương trình (2) có nghiệm đúng

PHƯƠNG PHÁP 10


SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
PHƯƠNG PHÁP
Nhiều phương trình đôi khi ta phải giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên :
A) Tam thức bậc hai
B) Các bất đẳng thức phổ thông( Côsi, Bunhiacôpxki, Benouli,.)
C) Tính chất trị tuyệt đối.
Thường là đi đến việc giải hệ.
Một số bất đẳng thức thường gặp
1. Bất đẳng thức Cauchy
Cho a1, a2,…,an không âm. Ta có


Dấu “=“ xãy ra khi và chỉ khi a1=a2=…=an.

2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho . Ta có


Dấu “=“ xãy ra


Bất đẳng thức Bernoulli


Dấu "=" xãy ra khi v� ch? khi a = 0 ho?c n = 1.
Mở rộng :
Nếu
Dấu "=" xãy ra
Nếu
Dấu "=" xãy ra


Ví dụ 1: Giải phương trình
Bài giải:
Biến đổi phương trình về dạng :
Nhận thấy rằng :

PT được chuyển thành:



KL: Vậy phương trình (1) có họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình
Bài giải:
Điều kiện
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Cách 2: ( Áp dụng bất đẳng thức Côsi), ta có


Vậy pt(2)

KL: Vậy phương trình (2) có nghiệm

Ví dụ 3 : Giải phương trình
Bài giải:
Theo bất đẳng thức Bernouli, ta có:

Với

, dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 1

Với

dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0




Với


Phương trình vô nghiệm

KL: Vậy, phương trình có hai nghiệm là : x = 0 và x = 1.

Trên đây là một số phương pháp giải phương trình chứa trị tuyệt đối.
Khi đứng trước một bài toán về trị tuyệt đối thì việc lừa chọn phương pháp là hết thức cần thiết.
Ví dụ: Tìm m để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt

Qua thao tác biến đổi ta đưa pt về dạng:

Lúc này dể dàng cho việc lựa chọn phương pháp:
Cách 1: Đặt ẩn phụ, sau đó dùng phép biến đổi phương trình tương đương.
Cách 2: Dùng phương pháp chia khoảng.
Cách 3: Dùng phương pháp GTLN - GTNN.

Đặt t=x2 – 5x + 4 , điều kiện
Cách 1: Đặt ẩn phụ.


Với mỗi ta luôn có hai nghiệm phân biệt của x.
Khi đó để pt này có 4 nghiệm phân biệt
Cách 2: S? d?ng gtln - gtnn
Xét


TXĐ: D = R

Bảng biến thiên






Để pt có 4 nghiệm phân biệt thì:



Cách 3: Sử dụng pp chia khoảng

Cách 4: Sử dụng pp đồ thị
Viết lại:

Số nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của đths (C) :
và đt y = m-4
Dựa vào đồ thị (C), ta có: để pt có 4 nghiệm phân biệt thì