PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ BIỆN LUẬN

Bài toán 1 : Tìm giao điểm của 2 đường :
Cho (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
Giải tìm hoành độ giao điểm : f(x) = g(x)
Biện luận số giao điểm của đồ thị theo m
Vẽ đồ thị của y = (x2 - 6x + 3)/(x + 2) và y = x - m
trên cùng hệ trục toạ độ
y
x
-1
O
-8
8
3/2
-2+19
-10+219
-2-19
-10-219
y = x
Nhìn vào đồ thị thì m = 8 đường y = x - 8 là tiệm cận xiên ( nên không cắt đồ thị (C)) .
b) m ? 8 đường y = x - 8 luôn cắt (C) tại 1 điểm
Cách 2 :
Giải bằng phương pháp tìm giao điểm hoành độ :
Biện luận :
* m = 8 ? hệ vô nghiệm (0.x = 2.8 + 3 = 19) :
* m ? 8 ? hệ có nghiệm :
Xét x = - 2 ?

* Vậy với m ? 8 ? hai đồ thị luôn cắt nhau tại 1 điểm
Ví dụ 2 : a) Vẽ đồ thị y = x3 + 3x2 - 2
b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình :
x3 + 3x2 - 2 = m
Vẽ đồ thị :
y = x3 + 3x2 - 2
y = m
y
x
O
2
-2
-2
-1
-1+?3
-1-?3
y = m
m
y = x3 + 3x2 - 2
Biện luận :
y
x
O
2
-2
-2
y = 2
*) m = 2 ? pt có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn
y = -2
*) m = - 2 ? pt có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn
y = m > 2
Biện luận :
y
x
O
2
-2
-2
*) m > 2 ? pt có 1 nghiệm đơn
y = m < - 2
*) m < - 2 ? pt có 1 nghiệm đơn
Biện luận :
y
x
O
2
-2
-2
-2 < m < 2
*) - 2 < m < 2 ? pt có 3 nghiệm đơn
Biện luận :
y
x
O
2
-2
-2
y = 2
y = -2
*) m = - 2 ; 2 ? pt có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn
y > 2
y < - 2
*) m < - 2 ; m > 2 ? pt có 1 nghiệm đơn
-2 < y < 2
*) - 2 < m < 2 ? pt có 3 nghiệm đơn
* Củng cố cách vẽ đồ thị :
y = x3 + 3x2 - 2 và y = m trên cùng 1 hệ trục toạ độ
y
x
O
2
-2
-2
-1
-1+?3
-1-?3
y = m
m
y = 2
y = - 2
-2 < m < 2
m < - 2
m > 2
Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến :
a) Viết pttt tại M0 (x0 ; y0) ? (C) : y = f(x) .
y - y0 = y`(x 0) (x - x 0)
b) Viết pttt với (C) đi qua M1(x1 ; y1) ? (C) :
. Lập pt đt đi qua M1 có hệ số góc k :
(d) : y - y 1 = k (x - x 1)
. Để (d) là tt với (C) tại điểm có hoành độ x0 thì :
hệ có nghiệm
* Chú ý : Nếu
(C1) ? (C2) ?
Ví dụ :
Viết pttt với (C) : y = (2 - x2 )2 đi qua điểm A(0 ; 4) .
* Pt đt đi qua A có hệ số góc k : (d) : y - 4 = k ( x - 0 )
hệ có nghiệm :
Vậy có :
?

* Để (d) là tt của (C) tại điểm có hoành độ x0 thì :
? 3 x04 - 4 x02 = 0 có nghiệm .
c) Viết pttt với (C) có hệ số góc k :
. Giải pt f`(x) = k tìm các nghiệm là toạ độ tiếp điểm .
. Viết pttt : (d) : y - y 1 = k (x - x 1)
. (d) vuông góc với 4y = x + 1 ? hệ số góc (d) : k = - 4
Ví dụ : Viết pttt với (C) y = - x3 + 3x2 - 4x + 2
và vuông góc với đt : 4y = x + 12
. (d) tiếp xúc (C) ? - 4 = - 3 x2 + 6x - 4
?
x = 0 ; x = 2
Vậy x = 0 ? y = 2 ? pttt : y - 2 = - 4 (x - 0)
? y = - 4 x + 2
x = 2 ? y = - 2 ? pttt : y + 2 = - 4 (x - 2 )
? y = - 4 x + 6
. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập : 3,4,5 trang 104 s.g.k.


BÀI TẬP LIÊN QUAN KHẢO SÁT
1) KIỂM LẠI : Lý thuyết : Biện luận ; viết pttt
2) Bài tập số 3 trang 104
a) Khảo sát hàm số : y = ? x3 ? 3x ? 1 (1)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) , biện luận số
nghiệm của phương trình sau theo m : x3 ? 3x ? m = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
tiếp tuyến đó song song đường thẳng : y = ? 9x ? 1.


. Tập xác định : D = R
. y` = - 3x2 + 3
. y` = 0 ? -3(x2 - 1) = 0 ? x1 = -1 ; x2 = 1

. Bảng biến thiên :
x - ? - 1 0 1 + ?
y` - 0 + + 0 -
y + ? 3
-2 - ?
Giải :
a) Khảo sát hàm số : y = - x3 + 3x + 1
* Đồ thị :
. Tìm điểm cắt trục toạ độ :
x 0
y 1
-1
0
1
x
y
- 2
3
1
Giải :
b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm pt :
x3 - 3 x + m = 0
. Biến đổi x3 - 3x + m = 0 ? - x3 + 3x + 1 = m + 1
. Vẽ 2 đồ thị : y = - x3 + 3x + 1 (C) và y = m + 1
y
x
o
-1
1
-2
3
(C)
y = m + 1
m +1
. Cố định (C) và di động (d) : y = m + 1
? Biện luận tìm số nghiệm
y
x
o
- 1
1
3
- 2
(C)
(d) :y = 3
* m+1 = 3 ? m = 2 ?
(d) ? (C) tại 2 điểm
? pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn
m+1
(d) :y = - 2
m+1
* m+1 = - 2 ? m = - 3 ?
(d) ? (C) tại 2 điểm
? pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn
(d) : y > 2
* m+1 > 3 ? m > 2 ?
(d) ? (C) tại 1 điểm
? pt có 1 nghiệm đơn
(d) :y < - 2
m+1
* m+1 < - 2 ? m < - 3 ?
(d) ? (C) tại 1 điểm
? pt có 1 nghiệm đơn
(d) :-2 < y < 3
m+1
* -2 < m+1 < 3 ? -3 < m < 2
? (d) ? (C) tại 3 điểm
? pt có 3 nghiệm đơn
y
x
o
- 1
1
3
- 2
(C)
(d) :y = 3
* m+1 = 3 ? m = 2 ?
(d) ? (C) tại 2 điểm
? pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn
m+1
(d) :y = - 2
m+1
* m+1 = - 2 ? m = - 3 ?
(d) ? (C) tại 2 điểm
? pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn
(d) : y > 2
m+1
* m+1 > 3 ? m > 2 ?
(d) ? (C) tại 1 điểm
? pt có 1 nghiệm đơn
(d) :y < - 2
m+1
* m+1 < - 2 ? m < - 3 ?
(d) ? (C) tại 1 điểm
? pt có 1 nghiệm đơn
(d) :-2 < y < 3
m+1
* -2 < m+1 < 3 ? -3 < m < 2
? (d) ? (C) tại 3 điểm
? pt có 3 nghiệm đơn
c) Phương trình tiếp tuyến .
(?) // y = ? 9x ? 1 ?

Pttt có dạng :
? có 2 tt là :

. Củng cố và dặn dò :
Làm các bài tập ôn tập chương II trang 104 - 108
s.g.k.
Kính chào !
Kính chào tạm biệt !