Phương trình phi tuyến

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP TÍNH ? HK2 0506
CHƯƠNG 1
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN f(x) = 0

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006)
NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1? KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT. CÔNG THỨC SAI SỐ
2? PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI
3? PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN
4? PHƯƠNG PHÁP NEWTON (TIẾP TUYẾN)
5? HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP  NEWTON ? RAPHSON.
1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT ? CÔNG THỨC SAI SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàm
VD: Phương trình x ? cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm:
Tìm KCLN: Tính f?, lập bảng biến thiên; Cách 2: Đồ thị (máy!)
CÔNG THỨC SAI SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Công thức sai số tổng quát: Phương trình f(x) = 0 (1) với nghiệm chính xác ? trên khoảng cách ly nghiệm [a, b]
VD: P/trình f(x) = x ? cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm [0,1]
Giải:
PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ý tưởng: Liên tục chia đôi khoảng cách ly nghiệm
VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x) = x ? cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] với sai số 0.2
Giải: Lập bảng chứa mọi kết quả trung gian cần thiết
DÃY LẶP ĐƠN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Kiểm tra những dãy sau có là lặp đơn? Nếu có, viết ra hàm lặp ?. Tính 5 số hạng đầu của dãy (x0 bất kỳ). Từ đó, đoán tính hội tụ? Tìm liên hệ giữa giới hạn dãy và hàm lặp ?
DÃY LẶP ĐƠN HỘI TỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Minh hoạ sự hội tụ của dãy lặp đơn: xn+1 = ?(xn) = axn + b
Dãy lặp hội tụ về nghiệm p/trình: x = ?(x) ? ? = b/(1 ? a)
DÃY LẶP ĐƠN PHÂN KỲ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phân kỳ
HÀM CO ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hàm y = ?(x) co trên [a, b] với hệ số co q ? ? q, 0 < q < 1:
VD: Hàm y = x2 co trên [-1/4, 1/4]???
PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý: Nhiều cách chọn hàm ? ? càng đơn giản càng tốt
Ước lượng sai số (q: hệ số co của hàm lặp đơn ?(x) )
VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Xấp xỉ nghiệm ptrình f(x) = x3 + x ? 1000 = 0 với sai số 10-8
Giải: Khoảng cách ly nghiệm
Lặp đơn: x = 1000 ? x3 = ?(x): Kiểm tra điều kiện co?
CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nhận xét: q = 0.0034 << 1 ? Hội tụ rất nhanh
Giải: Dạng lặp x = cosx = ?(x) ? q =
Ước lượng sai số tiên nghiệm:
x0 = 0 ? x1 = ?(x0) = 1
PHƯƠNG PHÁP LẶP NEWTON (TIẾP TUYẾN) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
f(x) = 0 ? Dạng lặp đơn
Minh hoạ hình học:
: hội tụ nhanh
ĐIỀU KIỆN LẶP NEWTON ? SAI SỐ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lặp Newton thất bại:
VÍ DỤ LẶP NEWTON ? TIẾP TUYẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải xấp xỉ f(x) = x ? cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10?8
1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ
2/ Xây dựng dãy lặp:
Sai số :
HỆ PHI TUYẾN ? PP NEWTON ? RAPHSON --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩn
? Có thể tính ?giá trị? f?(x(0)) tại ?điểm? x(0) cho trước
Xem x(k) đã biết. Tính x(k+1): giải thuật Newton - Raphson
VÍ DỤ LẶP NEWTON ? RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm nghiệm gần đúng x(1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ:
Giải: Ma trận A = f?(x)
b ?nhỏ?: x(k) gần nghiệm
ỨNG DỤNG THỰC TẾ: LÝ THUYẾT MẠCH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mạch điện: Nguồn (pin) V0, Điện trở R, Tụ C, Cảm ứng L
LỜI GIẢI VÍ DỤ THỰC TẾ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Biến đổi phương trình thu được (ẩn R)
Khoảng cách ly nghiệm: R ? [0, 400 ?] (2000 ? 0.01R2 ? 0)