Phương trình mặt cầu

Thực hiện : GV Trần Phú Hiếu
I) Phương trình mặt cầu:
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R
Khi đó : Phương trình mặt cầu có dạng :
1) PT thu gọn :
2) PT khai triển :
Chú ý :
<=> x2 + y2 + z2 = R2 : gọi là mặt cầu tâm O,bán kính R
VD1: Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ,biết :
( x – 3)2 + ( y +4)2 + ( z – 2)2 = 16
x2 + y2 + z2 – 4x + 6z – 12 = 0
ĐS :
a) Tâm I(3,-4,2) , Bán kính R = 4
b) Tâm I( 2,0,-3),Bán kính R = 5
VD2:Tìm phương trình mặt cầu (S) biết:
(S) có tâm I(-1,2,3) và qua gốc tọa độ O
b) (S) có đường kính AB , với A(6,2,-5);B(-4,0,7)

Vậy: Pt của (S) :
(x +1)2 + ( y - 2)2 + (z-3)2 = 14
b) * (S) có đường kính AB => Tâm I của (S) là trung điểm AB => I( , , )
1 1 1
Vậy : (S) : (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 62
a) * Mcầu (S) qua gốc tọa độ => Bán kính R = OI = …=
II) Sự tương giao của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm I ; bán kính R và mặt phẳng (P).
Gọi IH = d(I;(P)); ( H là hình chiếu của I xuống (P)).Khi đó :
IH > R => mp (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung
IH = R => mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H.Khi đó : mp(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H .
VD:
Cho mặt cầu (S) :x2 + y2 + z2 – 2y – 4z -20 = 0
Và mp (P) : x + 2y – z + 8 = 0
a) CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)
b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C)
HD GIẢI
a) *(S) có tâm I(0,1,2) và bán kính R = 5
Vậy : mp(P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo một đường tròn (C) có phương trình :
b) * Bán kính của (C) :
* Gọi H là tâm của (C) => H là hình chiếu của I xuống (P)
* Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)
*Vậy : phương trình đường thẳng :
d : x = t ; y = 1 + 2t ; z = 2 - t
* Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ :
CỦNG CỐ
1) Phương trình mặt cầu,tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S)
2) Điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu
3) Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn (C)
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu (S),biết :
(S) có tâm I(1,4,-7) và tiếp xúc với mp(P) :
6x + 6y – 7z +42 = 0
2) (S) qua 4 điểm A(1,0,0);B(0,0,1);C(2,1,0) và D(2,2,1)
Bài 2:
Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) :x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z -113 = 0 và song song với hai đường thẳng :