Phương trình - BPT chứa căn

MỤC LỤC
Trang
Mục lục 3
Phần 1: Phương trình vô tỷ 4
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 4
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 6
Dạng 1 6
Dạng 2 8
Dạng 3 9
Dạng 4 10
Phương pháp 3: Hàm số 12
Dạng 1: Sử dụng tính chất liên tục của hàm số 12
Dạng 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 13
Dạng 3: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 14
Dạng 4: Sử dụng định lý Lagrange 15
Dạng 5: Sử dụng định lý Rôn 16
Phương pháp 4: Đồ thị 17
Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ 18
Phương pháp 6: Đánh giá 19
Phần 2: Bất phương trình vô tỷ 21
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 21
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 22
Dạng 1 22
Dạng 2 23
Dạng 3 23
Phương pháp 3: Hàm số 24
Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 24
Dạng 2: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 25
Phương pháp 4: Đồ thị 26
Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ 27
Phương pháp 6: Đánh giá 28
Tài liệu tham khảo 29
Ý kiến của Giảng Viên 30





PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Cách bước giải phương trình vô tỷ:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
Bước 2: Lực chọn phương pháp thực hiện:
Phương pháp 1: Biến đổi tương đương.
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ:
1. Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.
2. Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa
.
3. Sử dụng
ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với
ẩn phụ.
4. Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn
.
Phương pháp 3: Hàm số, bao gồm:
1. Sử dụng tính liên tục của hàm số.
2. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
3. Sử dụng định lý Lagrange.
4. Sử dụng định lý Rôn.
Phương pháp 4: Đồ thị.
Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ.
Phương pháp 6: Đánh giá.

PHƯƠNG PHÁP 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp
Với các dạng phương trình cơ bản:
Dạng 1: Phương trình:


Lưu ý rằng: Điều kiện
được lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của
và
.
Dạng 2: Phương trình:


Lưu ý rằng: Không cần
.
Dạng 3: Phương trình:


Lưu ý rằng: Không cần
.
II. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình:



a) Giải phương trình với
.
b) Giải và biện luận phương trình.
Giải:
Phương trình viết lại dưới dạng:



a) Với
, hệ
được chuyển về dạng:
.
Vậy với
phương trình có nghiệm
.
b) Ta xét các trường hợp:
- Với
. Khi đó
vô nghiệm do đó
vô nghiệm.
- Với
. Khi đó
có nghiệm
có nghiệm thoả mãn


.
Kết luận:
- Với
hoặc
, phương trình có nghiệm
.
- Với
hoặc
, phương trình vô nghiệm.
2. Giải phương trình:

.
Giải:
Phương trình viết lại dưới dạng:




Vậy phương trình có nghiệm
.

PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ
DẠNG 1
I. Phương pháp
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ.
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
1. Nếu bài toán chứa
và
có thể:
Đặt
, điều kiện tối thiểu
, khi đó
.
2. Nếu bài toán chứa
,
và

có thể:
Đặt
, điều kiện tối thiểu
, khi đó
.
3. Nếu bài toán chứa
,
và

có thể:
Đặt
, khi đó
.
4. Nếu bài toán chứa
có thể:
Đặt
với
hoặc
với
.
5. Nếu bài toán chứa
có thể:
Đặt
với
hoặc
với
.