Phương tích của một điểm đối với đt

PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Điểm D hiện bị xóa là giao điểm của đường thẳng MC với đường tròn.
Với điều kiện chỉ dùng thước chia khoảng , tìm độ dài đoạn MD

Giả sử giao điểm MC với đường tròn là D, ta xem D thỏa mãn điều gì
Hai tam giác MAC và MDB đồng dạng
Nên
Suy ra MA.MB = MC . MD (1)
Ta sẽ chứng minh(1)là điều kiện đủ để D là giao điểm của MC với đường tròn
Giả sử D` là giao điểm của MC với (C)
Có MA.MB=MC.MD`
So với (1) có D trùng D `
Do đó ta tìm MD bằng thước chia khoảng như sau :
Có MA =a ,MB = b , MC = c
Suy ra
Hoàn toàn tương tự điểm M nằm trên đường tròn ta cũng có:
MA.MB =MC.MD
Cho hình sau, trong đó B hiện bị xóa: giao điểm của MA với (C).Tìm MB vơí thước chia khoảng

(P) laì mäüt cung troìn cuía (O,r) vaì OM=d
Nối MO ,giả sử C,D là hai giao điểm của MO với (O,r)
Ta có MA.MB=MC.MD
=(MO-CO)(MO+OD)
=(MO-CO)(MO+CO)
=MO2 - CO2 =d2 - r2
Đo được d , r và MA ta tính được
Tương tự nếu M nằm trong đường tròn ta luôn có
MA.MB=r2 - d2 =không đổi
Vậy M nằm ngoài đường tròn có:
MA.MB =MC.MD
= d2 - r2
=không đổi
Vậy M nằm trong đường tròn có:
MA.MB = MC.MD
= r2 - d2
=không đổi


Hai trường hợp M nằm trong , ngoài đường tròn gộp lại thành một công thức

Nhờ độ dài đại số đoạn thẳng:

Có nhận xét gì về 2 vec-tơ MA , MB
Hai vec-tơ đó cùng nằm trên 1 trục nên :

Ta có Định lý sau :
1)Định lý: Nếu cho đường tròn (O , r) và một điểm M cố định cách O một đoạn bằng d . Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A , B thì là một số không đổi và bằng d2 - r2
M
A
B
O
d
2)Phương tích :
Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) là giá trị không đổi nói trong định lý trên.
Ký hiệu PM/(O)
Vậy
PM/(O)=d2 - r2

3)Hệ quả:
Tính MT theo d và r
Vậy:
PM/(O)=MT2 = MT2
Hãy dựa vào khái niệm phương tích để tìm một dấu hiệu điểm M nằm trong , ngoài và trên đường tròn(O)
Điểm M nằm trong đường tròn khi và chỉ khi PM/(O) <0
Điểm M nằm ngoài đường tròn khi và chỉ khi PM/(O) >0
Điểm M nằm trên đường tròn khi và chỉ khi PM/(O) = 0