Phương tích của 1 điểm với đường tròn

Phương tích của một điểm đối với đường tròn.
I.-Khái niệm sơ bộ
Giả sử trên mặt phẳng chúng ta có một điểm P và một đường tròn (O).
Kẻ một đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn tại hai điểm U và V. Vậy thì giá trị của
PU×PV  không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng.  Điều này có nghĩa là nếu chúng ta vẽ một đường thẳng khác qua P và cắt đường tròn tại hai điểm A và B thì



Giá trị không đổi này được gọi là phương tích của điểm P đối với đường tròn (O). Để chứng minh PU×PV không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng tam giác đồng dạng.
Chúng ta chia ra hai trường hợp: trường hợp điểm P nằm bên ngoài đường tròn và trường hợp điểm P nằm bên trong đường tròn. 1/-Trường hợp điểm P nằm bên ngoài đường tròn (O) Xét hai tam giác (PUB và (PAV. Hai tam giác này đồng dạng vì có hai cặp góc bằng nhau. Cho nên
PU/PA=PB/PV.
( PA×PB=PU×PV.
(điều cần chứng minh) 2/-Trường hợp điểm P nằm bên trong đường tròn (O) Xét ( PUB và ( PAV là 2 ( đồng dạng vì có các cặp góc bằng nhau. ( PU/PA=PB/PV( PA×PB=PU×PV.

Từ đó chúng ta có giá trị của phương tích là không thay đổi
.
II.-Tính công thức phương tích theo khoảng cách PO và bán kính r Bây giờ chúng ta sẽ tính công thức phương tích theo khoảng cách PO và bán kính r của đường tròn (O). Có thể chia ra hai trường hợp như trên: trường hợp điểm P nằm bên ngoài đường tròn và trường hợp điểm P nằm bên trong đường tròn. Chúng ta sẽ chứng minh rằng: 
Nếu P nằm bên ngoài đường tròn thì PU×PV=PO2−r2
Nếu P nằm bên trong đường tròn thì PU×PV=r2−PO2.
Thật vậy, nếu chúng ta lấy U và V là hai giao điểm của đường thẳng PO với đường tròn (O) thì phương tích của P sẽ được tính như sau:
1/ Trường hợp P nằm bên ngoài đường tròn

Tính được : PU×PV=(PO−r)(PO+r) ( PU×PV =PO2−r2




2/-Trường hợp P nằm bên trong đường tròn

Tính được PU×PV=(r−PO)(r+PO) ( PU×PV = r2−PO2.











Tóm lại công thức phương tích của P có thể biểu diễn theo khoảng cách PO và bán kính r như sau



Dấu (+) hay (-) trong công thức trên phụ thuộc vào vị trí của P nằm bên ngoài  hay bên trong đường tròn.
 (Trường hợp đặc biệt khi điểm P nằm trên đường tròn thì phương tích hiển nhiên là bằng 0.) III.- Định nghĩa "chính xác" của phương tích Thật ra những gì chúng ta đã nói ở trên về phương tích là chưa hoàn toàn chính xác. Định nghĩa ở trên là Khái niệm sơ bộ dành cho học sinh THCS chưa học về khoảng cách có dấu, nên phương tích PU×PV bao giờ cũng là số dương. Còn định nghĩa "chính xác" của phương tích như sau:



Phương tích "có dấu" có thể là số dương mà cũng có thể là số âm, nó phụ thuộc vào 
 và 
 có cùng chiều hay ngược chiều nhau.





(Định nghĩa này của phương tích rất tiện lợi vì nhờ vào giá trị của phương tích mà chúng ta biết được vị trí tương đối của điểm P đối với đường tròn. Nếu phương tích là số dương, chúng ta biết rằng P nằm ngoài đường tròn. Nếu phương tích bằng 0, chúng ta biết rằng P nằm trên đường tròn. Còn nếu phương tích là số âm, chúng ta biết rằng P nằm trong đường tròn.

IV.-Công thức hình học tọa độ của phương tích Nếu chúng ta vẽ một hệ trục tọa độ 0xy thì mọi điểm P trong mặt phẳng sẽ có một tọa độ (Px,Py).


Chúng ta biết rằng công thức của đường tròn tâm O bán kính r là

(x−Ox)2+(y−Oy)2−r2=0.
Công thức phương tích chính là


(
.
Nhờ công thức phương tích Px−Ox)2+(Py−Oy)2−r2
chúng ta càng thấy rõ hơn vì sao giá trị của phương tích là số dương, là bằng 0, là số âm, phụ