Phuong phap tim chu so cuoi cung

I. Tìm một chữ số tận cùng
Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1.
d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 6.
e) Tích của một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 5 với bất kì số tự nhiên lẻ nào cũng cho ta số có chữ số tận cùng là 5.
Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.
Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 799   b)
  c)

Giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: 99 − 1 = (9 − 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia hết cho 4 ( 99 = 4k + 1 (k ( N) ( 799 = 74k + 1 = 74k.7
Do 74k có chữ số tận cùng là 1 ( 799 có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 1414 = 4k (k ( N) ( 141414 = 144k có chữ số tận cùng là 6.
c) Ta có 567 − 1
4 ( 567 = 4k + 1 (k ( N) ( 4567 = 44k + 1 = 44k.4 ( 44k có chữ số tận cùng là 6 nên 4567 có chữ số tận cùng là 4.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số:
a) 71993 b) 21000 c) 31993 d) 4161 e)
g)
h)
i)

Bài 3: Chứng minh rằng: a) 8102 − 2102
10 b) 175 + 244 − 1321
10 c) 4343 − 1717
10
Bài 4: Tìm các số tự nhiên n để n10 + 1  10
Bài 5: Có tồn tại hay không số tự nhiên n để n2 + n + 2 chia hết cho 5?
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của C = 1.3.5.7…..99
Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009.
Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 1, n ( {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùng giống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng:
(2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011.
Giải: Trước hết ta có nhận xét: Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy thừa đều có dạng n4(n − 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 3 thì 23 có chữ