PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

















ĐỀ TÀI:PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
NGHIỆM NGUYÊN

Môn:Cơ sở Toán ở Tiểu học 3
Giảng viên:
Lớp:
Các thành viên cùng thực hiện:




LỜI MỞ ĐẦU 2
PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ 3
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG 3
PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC 3
PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ 6
PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG 8
PHƯƠNG PHÁP 6: LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 10
PHƯƠNG PHÁP 7: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG 11
PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG 11
PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC 12
PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 13
PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ 13
PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ 13
BÀI TẬP ÁP DỤNG 15





LỜI MỞ ĐẦU






Không giống như các phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm nguyên khó giải quyết hơn vì điều kiện ràng buộc nguyên của nhiệm. Vì vậy với phương trình nghiệm nguyên, ta thường không có một phương pháp hoặc định hướng giải cụ thể nào như với phương trình nghiệm thực và nghiệm phức. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng một số phương pháp hiệu quả để giải quyết lớp phương trình này. Trong chuyên đề này ta sẽ nêu ra một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Tùy vào từng bài toán mà ta có những dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp.





PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ
Ví dụ 1:Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:

𝑥
2−
𝑦
2=1998

𝑥
2+
𝑦
2=1999
Giải
Dễ chứng minh
𝑥
2,
𝑦
2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên

𝑥
2−
𝑦
2
chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

𝑥
2,
𝑦
2
chia cho 4 có số dư là 0, 1 nên
𝑥
2+
𝑦
2 chia cho 4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 2:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
9𝑥+2=
𝑦
2+𝑦
Giải
Biến đổi phương trình: 9𝑥+2= 𝑦(𝑦+1)
Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên 𝑦(𝑦+1) chia hết cho 3 dư 2.
Chỉ có thể: 𝑦=3𝑘+1, 𝑦+1=3𝑘+2 𝑣ớ𝑖 𝑘 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛
Khi đó: 9𝑥+2
3𝑘+1
3𝑘+2

⟺9𝑥=9𝑘
𝑘+1

⟺𝑥=𝑘
𝑘+1

Thử lại: 𝑥=𝑘
𝑘+1, 𝑦=3𝑘+1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Đáp số:
𝑥=𝑘
𝑘+1
𝑦=3𝑘+1 với 𝑘 là số nguyên tùy ý.


PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG
Biến đổi phương trình về dạng: vế trái là tổng của các phương trình, vế phải là tổng của các số chính phương.
Ví dụ:Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

𝑥
2
𝑦
2−𝑥−𝑦=8 (1)
Giải
(1
4𝑥
2+4
𝑦
2−4𝑥−4𝑦=32

4
𝑥
2+4𝑥+1
4
𝑦
2−4𝑦+1=34

2𝑥−1
2
2𝑦−1
2
3
2
5
2

Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có một dạng phân tích thành tổng của hai số chính phương
3
2,
5
2. Do đó phương trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng:

2𝑥−1=3
2𝑦−1=5
hoặc
2𝑥−1=5
2𝑦−1=3

Giải các hệ trên suy ra phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là:
2;3,
3;2, −1;−2, (−2;−1


PHƯƠNG