Phương pháp chứng minh quy nạp toán học

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ
THIẾT KẾ TRÊN POWER POINT
GIÁO VIÊN : NGUY?N TRÍ HU?

PHUONG PH�P QUY N?P TỐN H?C
CHƯƠNG III - BÀI 1 :
PHƯƠNG PHÁP
QUY NẠP TOÁN HỌC
Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) :
và Q(n) :
Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
Với mọi n?N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
với n?N*
n 3n n+100 Đ, S
1 3 101

2 9 102

3 27 103

4 81 104

5 243 105

n 2n n Đ, S
1 2 1
2 4 2
3 8 3
4 16 4
5 32 5

Đ
Đ
Đ
Đ
S
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Mệnh đề P(n) :
Mệnh đề Q(n) :
Với mọi n?N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
D? ch?ng minh nh?ng m?nh d? liên quan đến số tự nhiên n ? N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
B2: Giả thiết mệnh đề đúng một số tự nhiên bất kì n=k?1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng với n=k+1.
? Phương pháp trên gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.
I. PHUONG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
II.VÍ DỤ ÁP DỤNG
GIẢI
Bước 1: Khi n=1, vế trái
Vậy hệ thức (1) đúng.
Bước 2: Đặt vế trái bằng
Giả sử đẳng thức đúng với n=k1, nghĩa là:
(giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1, tức là:
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi n  N*.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n ? N* thì :
chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng
Chứng minh rằng với n ? N* thì:
Giải
Bước 1: Khi n = 1
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k  1, tức là:
Ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1, tức là:
Thật vậy, ta có:
Vậy: đẳng thức (*) đúng vơi mọi số tự nhiên n  1
(*) đúng khi n = 1
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với thì Chia hết cho 3.
Giải
Đặt
Với n=1, ta có
(giả thuyết quy nạp)
Ta phải chứng minh
Bước 1:
Bước 2 :
ta có
Giả sử với
Thật vậy, ta có:
Theo giả thiết quy nạp
Hơn nữa
nên
Vậy
Chia hết cho 3 với mọi
Chú ý:
* Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
B1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
B2: Giả thiết mệnh đề đúng một số tự nhiên bất kì n=k?1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng m?nh d? cũng đúng với n=k+1.
* Thực hiện Hoạt động 3 - SGK.
Cho 2 số 3n và 8n với n?N*
So s�nh 3n v?i 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.
D? dĩan k?t qu? t?ng qu�t v� ch?ng minh b?ng PP quy n?p tĩan h?c.
* Làm các bài tập 1, 2, 4 trang 82 và 83.
GIÁO ÁN thiết kế trên phần mềm Microsoft Power Point
Thực hiện :
GV : NguyễnTrí Huệ

X