Phim hay

BÀI TẬP HÌNH HỌC 11
GIẢI BẰNG PHÉP BIẾN HÌNH

Các phép biến đổi hình học ở lớp 11(đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép tĩnh tiến, phép vị tự) giúp học sinh giải nhiều bài toán hình học phẳng một cách thuận lợi và gây được hứng thú cho học sinh. Sau đây là một sỗ thí dụ.
Bài toán 1. Chứng minh rằng trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O của một tam giác thẳng hàng, đồng thời GH = 2OG .
Giải: (xem hình 1)
B



C2
C1

O G H


A B1 B2 C
G
Hình 1

Bài toán 2. Cho hai đường tròn bán kính khác nhau cắt nhau ở điểm A.
a) Chứng minh rằng tồn tại hai điểm phân biệt M và N sao cho hai đường tròn đã cho là hình vị tự của nhau với các phép vị tự tâm M và tâm N.
b) Chứng tỏ góc < MAN = 900.
Giải: (xem hình 2).













b) Trong hai phép vị tự của hai đường Hình 1
tròn với tâm M và N nói trên thì O1 là ảnh của
O2 . Điểm A biến thành A1 trong phép tâm M, biến thành A2 trong phép tâm N. Theo tính chất của phép vị tự thì O1A1// O2A, O1A2//O2A, do đó A1,O1,A2 thẳng hàng. Bởi vậy góc
< A1AA2 = 900, do đó góc < MAN = 900.

Bài toán 3. Cho ba điểm M,N và K trên một đường tròn. Dựng một tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đó sao cho AM,BN VÀ CK là các đường phân giác của các góc tương ứng
















Hình 3
Giải: ( xem hình 3).
Gọi
ABC là tam giác phải dựng. Vẽ qua M,N,K các tiếp tuyến với đường tròn đã cho rồi xét tam giác A1B1C1 (A1,B1,C1 là các giao điểm của ba tiếp tuyến đó). Vì các cặp cung bằng nhau AK và KB, BM và MC, AN và NC nên A1B1 // AB, B1C1 // BC, A1C1 // AC. Như vậy hai tam giác ABC và A1B1C1 là hai hình vị tự, do đó các đường phân giác tương ứng cũng song song. Từ đấy suy ra các dựng tam giác ABC: Qua M,N,K dựng ba tiếp tuyến với đường tròn, ta có tam giác A1B1C1. Dựng ba đường phân giác trong của tam giác này là A1M1, B1N1 và C1K1. Qua các điểm M,N,K dựng các đường thẳng tương ứng song song với ba đường phân giác đó, ba đường này cắt đường tròn ở ba điểm A,B,C phải tìm.

Bài toán 4. Cho đường tròn tâm O và tứ giác ABCD nội tiếp trong đó.Chứng minh rằng các đường thẳng kẻ qua trung điểm các cạnh của tứ giác và vuông góc với cạnh đối diện thì đồng quy tại một điểm.















OM và ON Hình 4
biến thành đường thẳng song song với chính nó).
Do đó suy ra các đường thẳng a,b,c và d đồng quy tại một điểm E là ảnh của điểm O trong phép đối xứng tâm P.

Bài toán 5. Cho hình thang cân ABCD (AD = BC). Kéo dài các cạnh bên AD và BC cắt nhau tại L. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACL và BDL cắt nhau ở tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang đã cho.














AK đối xứng với cung BK Thêm vào đó Hình 5
cung AK bằng cung KC ( vì góc < ALK =
Bài toán 6. Cho tam giác ABC. Tìm một điểm P trên mặt phẳng sao cho tổng các khoảng cách: l = AP+BP+CP nhỏ nhất.

B1


P1 B



P

A C
Rõ ràng l sẽ nhỏ nhất nếu các điểm P1 và Hình 6
P nằm trên đường thẳng B1C. Dễ dàng tính
được trong trường hợp này thì góc