Phép nội suy

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------
PHƯƠNG PHÁP TÍNH ? HK 2 0506
CHƯƠNG 3
NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006)
NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE
2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE
5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU)
4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy
Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (xk, yk) }, k = 0 ? n
NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k = 0 ? n
Cách 1: 3 mốc ? n = 2 ? L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)
Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(xk,yk)} , k=0?2
Tại x = 3, ybảng ??
ybảng ? L(3) = 0.325
VÍ DỤ SAI SỐ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải:
Kết quả:
Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên!
NHIỀU MỐC ? ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VÍ DỤ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
NỘI SUY NEWTON ? MỐC CÁCH ĐỀU -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bảng {(xk,yk)} , k = 0 ? n, mốc nội suy cách đều: x0, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h ? xn = xn-1 + h. Lập bảng sai phân :
ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VÍ DỤ NỘI SUY NEWTON ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tất cả sai phân: Nội suy Newton ? Lagrange!
Câu hỏi: Tính tại x = 54? với Nội suy tiến. Nhận xét?
HIỆN TƯỢNG RUNGE ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giá trị L(0.95) =
Giá trị chính xác f(0.95) = 0.04
KẾT QUẢ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
So sánh đồ thị hàm ban đầu f(x) và đa thức nội suy P4(x)
Tăng số nút có thể khiến sai số tăng!
NỘI SUY GHÉP TRƠN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ý TƯỞNG NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
XÂY DỰNG HÀM NỘI SUY GHÉP TRƠN BẬC 3 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1/ Hàm dạng bậc 3 trên từng đoạn [xk,xk+1], k = 0 ? n ?1
GIẢI THUẬT NỘI SUY SPLINE BẬC 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I/ Độ dài hk = xk+1 ? xk, k = 0 ? n ?1. Hệ số ak = yk, k = 0 ? n
VÍ DỤ NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lập hàm nội suy spline bậc 3 g(x) thoả điều kiện biên tự nhiên và nội suy bảng sau
BẢNG TÍNH NỘI SUY SPLINE (GHÉP TRƠN) BẬC 3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước II: c3 = g?(x3)/2 ? c = [c0, c1, c2, c3]T là nghiệm
BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Thực nghiệm: Thống kê lượng mưa 12 tháng & vẽ đồ thị
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU (BPCT) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nhiều dữ liệu & yk có sai số: A�p đặt L(xk) = yk: vô nghĩa!
TRƯỜNG HỢP TUYẾN TÍNH ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Tìm hàm bậc 1 xấp xỉ bảng sau theo nghĩa BPCT
ĐA THỨC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BẬC CAO -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
HÀM MŨ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: Xấp xỉ bảng số với p/pháp bình phương cực tiểu