PHÉP BIẾN HÌNH

A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Giai đoạn toán học hiện đại là giai đoạn toán học có tính trừu trượng và khái quát rất cao. Trong giai đoạn này đã xuất hiện một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Không kể đến rất nhiều cống hiến cho khoa học, trong toán học lý thuyết ông đã làm nên các công trình có tính cách mạng về hàm số với biến phức trong hình học và về sự hội tụ của các chuỗi. Ông đã đưa ra chứng minh đầu tiên của định lý cơ bản của đại số và của luật tương hỗ bậc hai. Tác phẩm (các nghiên cứu về số học) của Ông công bố vào năm 1801 được xem là công trình khởi đầu của đại số hiện đại.
Bên cạnh đó với sự xuất hiện của Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) và những nhà toán học cùng thời của ông. Từ phương pháp của Lagrăng trong lý thuyết phương trình, Côsi đã rút ra được cái tinh tuý để hệ thống những cơ sở đầu tiên của lý thuyết nhóm. Ông đã nhìn thấy trong tính đối xứng của các công thức đại số những phép toán và tính chất của chúng dẫn tới lý thuyết nhóm. Ngày nay lý thuyết sơ cấp đó tuy khá phức tạp đã có vai trò rất quan trọng trong nhièu lĩnh vực toán học, từ lý thuyết về phương trình đại số cho tới hình học và lý thuyết cấu trúc nguyên tử
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Đặc biệt, trong đại số có nhiều nhà toán học nổi tiếng với nhiều lĩnh vực quan trọng như: Niels Henrik Abel và Évariste Galois – Lý thuyết phương trình (chứng minh được rằng không có phương pháp đại số để giải phương trình đa thức với bậc lớn hơn bốn, các nghiên cứu về nghiệm của nhiều loại phương trình đa thức khác nhau đã đặt nền móng cho sự phát triển sâu hơn về lí thuyết nhóm và các lĩnh vực liên quan của đại số trừu trượng), Georg Cantor – Lý thuyết tập hợp, và William Rowan Hamilton – đại số không giao hoán,...
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Về lịch sử lí thuyết phương trình – giải phương trình đa thức. Ngày nay, người ta tin rằng, việc giải phương trình đa thức bậc hai đã được các nhà toán học cổ đại Babylon quan tâm cách đây gần 4000 năm. Những tấm đất sét có niên đại 1600 BC được tìm thấy còn ghi lại việc tìm nghiệm của những phương trình bậc hai cụ thể có hệ số lớn hơn 0 và mô tả bằng hình học và phương pháp này cũng được nhà toán học Hy Lạp Euclid đề cập đến để giải phương trình bậc hai. Mãi đến thế kỉ thứ 7, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta trình bày cách giải phương trình bậc hai có sử dụng số âm và các kí hiệu, đánh dấu sự phát triển của đại số.
Kế đến là các nhà toán học Arab, tuy nhiên họ chưa biết dùng số âm nên phân phương trình bậc hai ra làm 6 loại và trình bày cách giải của từng loại được thể hiện trong quyển sách có tên “Hisabal-jabrw’al-muqaba”. Đây được xem là quyển sách đầu tiên về đại số và tên đại số “Algebra” ra đời từ quyển sách này. Khoảng 1500, Luca Pacioli xuất bản quyển “Suma (1494)” lời giải phương trình bậc hai được trình bày chi tiết bằng ngôn ngữ đại số hiện đại; ông không đề cập đến việc giải phương trình đa thức bậc ba nhưng ông đề cập đến việc giải phương trình đa thức bậc bốn. Scipione del Ferro và Tatarlia là người tìm ra nghiệm của phương trình bậc ba.
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Đặc biệt là Cardano xuất bản “Ars Magna” trình bày lời giải cho 20 loại phương trình đa thức bậc bốn thông qua việc tìm nghiệm của phương trình phụ bậc ba (giải thức bậc ba). Sau khi giải được phương trình đa thức bậc ba và bốn, vấn đề tìm nghiệm căn thức cho phương trình đa thức bậc năm được đặt ra một cách tự nhiên và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong một thời gian dài trong đó có Euler, Lagrange, Ruffini, và vấn đề chỉ được giải quyết bởi thần đồng toán học người Na Uy - Niels Henrik Abel vào năm 1824, kế đến người ta tìm thấy sau mười một năm Évariste Galois qua đời lời giải hoàn hảo và sâu sắc cho bài toán nổi tiếng là khi nào phương trình đa thức giải được bằng căn thức. Công trình của Abel và Galois đã khép lại lịch sử giải phương trình đa thức và mở ra nhiều lí thuyết mới của đại số hiện đại với nhiều ứng dụng quan trọng. [9]
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Về lịch sử ra đời của lý thuyết tập hợp: Từ thời Leibniz đã có nhu cầu xây dựng các ký pháp và ký hiệu để hệ thống hóa logic học. Trong đại số của mình, G. Boole đã đặt phép hợp và phép giao các tập hợp, một mặt tương ứng với phép cộng và phép nhân; và mặt khác với phép “hoặc” và phép “và”; vậy là song song với ký hiệu logic đã xuất hiện các ký hiệu (dấu) và một lý thuyết về các tập hợp. Vào năm 1895 nhà toán học và logic học Italia G. Pean (1858-1932) đã đưa ra ký hiệu để chỉ “thuộc”, U để chỉ phép hợp hai tập hợp và để chỉ phép giao tập hợp.
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ

Năm 1877, Schroder, người Đức, đã đưa ra ký hiệu (để chỉ sự bao hàm). Cùng với các công trình của Canto về tập hợp các số thực đã xuất hiện các nghịch lý khiến cho Peano phải định nghĩa bản số của một tập hợp. Nhà toán học Pháp E. Borel (1871-1956) đã đưa ra khái niệm về phép hợp đếm được, vốn đã dẫn đến các nghiên cứu về topo và lý thuyết về độ đo ở thế kỷ XX.
Cũng trong thế kỉ XIX, W.R Hamilton đã sáng lập ra đại số không giao hoán.
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ
Thế kỉ 19 cũng chứng kiến sự thành lập của các hội toán học đầu tiên: 
Hội toán học London vào năm 1865
Hội toán học Pháp vào năm 1872
Hội toán học Palermo vào năm 1884 
Hội toán học Edinburgh vào năm 1864
Hội toán học Mỹ vào năm 1888.
A. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ