Phân dạng các bài toán lớp 9

CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

A/ LÝ THUYẾT.
Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng là OH


1. Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt:
( đường thẳng có hai điểm chung
với đường tròn
( OH < R
2. Đường thẳng
và đường tròn
không giao nhau.
( Đường thẳng
và đường tròn
không có điểm chung
(

3. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
( đường thẳng
chỉ có một điểm chung
với đường tròn
( OH = R.


4. Tiếp tuyến của đường tròn.

là tiếp tuyến của đường tròn
tại điểm H ( ∆ tiếp xúc với đường tròn tại H
Điểm
gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn
. Ta có

* Nếu
là tiếp tuyến của
thì
vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
* Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
+ Tia kẻ từ điểm đó đến tâm
là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến
+Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó.
4. Đường tròn nội tiếp tam giác
+ là đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là
+ có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác
5. Đường tròn bàng tiếp tam giác
+ là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia
+ Đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc
có tâm là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc
và góc

+ Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.


B/ BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN
I/ Phương pháp: Xét (O, R) và đường thẳng d
* Bài toán về khoảng cách OH từ tâm O tới đường thẳng d khi d cắt (O) tại hai điểm.
Xét
. Theo định lý Pitago ta có:

Mặt khác ta cũng có:

=>




CÁC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC
+ Nếu
nằm ngoài đoạn
thì

+ Nếu
nằm trong đoạn
thì

+ Mối liên hệ khoảng cách và dây cung:

* Để chứng minh một đường thẳng d là tiếp tuyến (tiếp xúc) với đường tròn (O, R):
+ Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ OH
d, chứng minh OH = R.
+ Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh OA
d.
+ Cách 3: Sử dụng phương pháp trùng khít (Cách này sẽ được đề cập trong phần góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây)
II/ BÀI TẬP MẪU.
Ví dụ 1. Cho hình thang vuông

có
là trung điểm của
và góc
. Chứng minh
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

Giải
Kéo dài
cắt
tại
vì
suy ra
.
Vì
nên xét ∆vuông
và ∆vuông
ta có

chung

.

=>
=> cân tại
.
Kẻ
thì

mà
hay
thuộc đường tròn
.
Do đó
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
.
Ví dụ 2. Cho hình vuông
có cạnh bằng
. Gọi
là hai điểm trên các cạnh
sao cho chu vi tam giác
bằng
. Chứng minh đường thẳng
luôn tiếp xúc với
đường tròn cố định
Giải
Trên tia đối của
ta lấy điểm
sao cho
.
Ta có
.
Theo giả thiết ta có:




Suy ra
.
Từ đó ta suy ra
.
Kẻ

.
Vậy
thuộc đường tròn tâm
bán kính
suy ra
luôn tiếp xúc với đường tròn tâm
bán kính bằng
.
Ví dụ 3. Cho tam giác
cân tại
đường cao
. Trên nửa mặt phẳng chứa
bờ
vẽ
cắt đường tròn tâm
bán kính
tại
. Chứng minh
là tiếp tuyến của

Giải
Vì tam giác
cân tại
nên ta có:
.
Vì
.
Mặt khác ta cũng có
.
Hai tam giác
và
có
chung,
,

suy ra
suy ra
.
Nói cách khác
là tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 4. Cho tam giác
vuông tại

đường cao
. Gọi
là điểm đối xứng với
qua
. Đường tròn