On thi tot

Nhị thức newton và ứng dụng
I – Nhị thức newton
1 – Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dương ta có:
(a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cnnbn

2 – Các nhận xét về công thức khai triển:
+ Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái.
+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.
+ Các hệ số của khai triển lần lượt là:
C0n; C1n; C2n; … Cn-1n; Cnn;
Với chú ý: Ckn = Cnn–k 0 < k < n.


3 – Một số dạng đặc biệt:
+ Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta được
(1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn
+ Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta được (2)
(1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + …(-1) kCkn xk + …+ (-1)n Cnn xn (3)
4 – Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức
+ Thay x = 1 vào (2) ta được
C0n + C1n x + C2n + …+ Cnn = 2n
+ Thay x = -1 vào (3) ta được:
C0n - C1n x + C2n - …+ (-1)n Cnn = 0
A - áp dụng
I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó:
Bài 1: Thực hiện khai triển:
(3x – 4)5
CT: Ta có (3x – 4)5
= 35. C05 . x5 + 4.34 C15 x4 + … + 45 C55
Trong khai triển đó
+ Có 6 số hạng.
+ Các hệ số có tính đối xứng nhau
+ Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số
C05 = 1 C15 = 5 C25 = 10
Vậy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66
b: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55
c: S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717
d: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111
e:
Giải:a ta có
S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 = (1 + 1)6 = 26 = 64
b:Ta có (1 + x)5(1)
Thay x = 2 vào (1) ta được:
S2 = C05 + 2C15 + 22. C25 + … +25 C55 = 35 = 243
c:Ta có:
S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717
= C017.317+ C117.316(-4)1 + C217 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+ C1717
(-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1
d: Ta có (1 + 1)11 = C011 + C111 + C211 + … + C611 + C211 +…+ C1111
Mặt khác Ck11 = C1111-k với k (0,1,2,…11)
Do vậy: (1 + 1)11 = 2 (C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111) = 2S4
→S4 = 210
e: Ta có
Từ đó: S5 = 2002
Bài 3: Tìm số nguyên