Ôn tập Cuối năm

ôn tập đầu năm
toán 10
Người thực hiện: lê hồng đức
ĐT: 0936546689
1. Phép nhân và phép chia các đa
thức
I. các kiến thức cơ bản toán thcs cần ôn tập
2. Phân thức đại số
3. Phương trình bậc nhất
4. Bất phương trình bậc nhất
một ẩn
5. Căn bậc hai và căn bậc ba
1. Các bài toán về tam giác và đa giác
phần hình học
3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
4. Các bài toán về đường tròn
2. Tam giác đồng dạng
6. Hàm số bậc nhất, hàm số y = ax2
7. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
8. Phương trình bậc hai một ẩn
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
II. ôn tập kiến thức cơ bản toán thcs
1. Một số ví dụ sử dụng phép nhân và phép chia các đa thức
phần đại số
Các hằng đẳng thức đáng nhớ
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a ? b)2 = a2 ? 2ab + b2
a2 ? b2 = (a ? b)(a + b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a ? b)3 = a3 ? 3a2b + 3ab2 ? b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 ? ab + b2)
a3 ? b3 = (a ? b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 + c3 = (a + b + c)3 ? 3(a + b)(b + c)(c + a)
Hoạt động: Chứng minh rằng:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca.
Từ đó, suy ra các hằng đẳng thức:
(a ? b + c)2, (a + b ? c)2, (a ? b ? c)2.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Hoạt động: Suy ra các hằng đẳng thức:
a3 ? b3 + c3, a3 + b3 ? c3, a3 ? b3 ? c3.
Hoạt động: Suy ra các hằng đẳng thức:
a3 ? b3 + c3, a3 + b3 ? c3, a3 ? b3 ? c3.
Hoạt động: Có nhất thiết phải nhớ hằng đẳng thức này không?
Hoạt động: Có nhất thiết phải nhớ hằng đẳng thức này không?
Hoạt động: Có nhất thiết phải nhớ hằng đẳng thức này không?
tài liệu tham khảo thêm
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Bài giảng và lời giải chi tiết
toán THcs
toán 8
Tác giả: đào thị ngọc hà
2xy2(z ? 3y).
? Đặt nhân tử chung
4x2 ? y4 =
? Dùng hằng đẳng thức
(2x ? y2)(2x + y2).
xy ? x ? y + 1 =
? Nhóm hạng tử
x(y ? 1) ? (y ? 1)
= (y ? 1)(x ? 1).
= y(x ? 1) ? (x ? 1)
= (x ? 1)(y ? 1).
x2 + 4x + 3 =
? Tách hạng tử
x2 + x + 3x + 3
= x(x + 1) + 3(x + 1)
= (x + 1)(x + 3).
= x(x + 3) + (x + 3)
= (x + 3)(x + 1).
= x2 + 4x + 4 ? 1
= (x + 2)2 ? 1
= (x + 1)(x + 3).
x4 + 4 =
x4 + 4x2 + 4 ? 4x2
= (x2 + 2)2 ? 4x2
= (x2 + 2 ? 2x)(x2 + 2 + 2x).
? Thêm, bớt hạng tử
(2x)2 ? (y2)2
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Phân tích đa thức thành nhân tử
x2y ? 4xy + 4y ? 4y3 =
= y(x2 ? 4x + 4 ? 4y2)
= y[(x2 ? 4x + 4) ? 4y2]
= y[(x ? 2)2 ? 4y2]
= y(x ? 2 ? 2y)(x ? 2 + 2y)
? Đặt nhân tử chung
? Nhóm hạng tử
? Dùng hằng đẳng thức
? Dùng hằng đẳng thức
Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp khác nhau
Ví dụ 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a. 16x4(x  y)  x + y. b. x4  x2 + 2x + 2.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
a. Ta viết 16x4(x ? y) ? (x ? y)
= (x  y)(16x4  1)
= (x  y)(4x2 + 1)(4x2  1)
= (x  y)(4x2 + 1)(2x  1)(2x + 1)
b. Ta viết x2(x2 ? 1) + 2(x + 1)
= x2(x + 1)(x ? 1) + 2(x + 1)
= (x + 1)[x2(x ? 1) + 2]
= (x + 1)(x3 ? x2 + 2)
= (x + 1)[(x3 + 1) ? (x2 ? 1)]
= (x + 1)(x + 1)(x2 ? x + 1 ? x + 1)]
= (x + 1)2(x2 ? 2x + 2)
Hoạt động: Tìm một cách giải khác cho câu b).
Ví dụ 2: T×m x, biÕt:
a. x9 + x8  x  1 = 0. b. x4 + 2x3  6x  9 = 0.
Giải
Hoạt động: Các em hãy nêu phương pháp dưới dạng thuật toán được sử dụng để giải các phương trình không mẫu mực trên.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
a. Ta có:
x9 + x8 ? x ? 1 = x8(x + 1) ? (x + 1)
= (x + 1)( x8  1)
= (x + 1)( x4 + 1)(x4  1)
= (x + 1)( x4 + 1)( x4 + 1)(x2  1)
= (x + 1)( x4 + 1)( x2 + 1)( x + 1)(x  1)
Phương trình có dạng:
(x + 1)( x4 + 1)( x2 + 1)( x + 1)(x ? 1) = 0
suy ra x = ?1 hoặc x = 1.
b. Ta có:
x4 + 2x3 ? 6x ? 9 = (x4 ? 9) + (2x3 ? 6x)
= (x2  3)(x2 + 3) + 2x(x2  3)
= (x2  3)(x2 + 3 + 2x)
= (x2  3)(x2 + 2x + 3)
Phương trình có dạng:
(x2 ? 3)(x2 + 2x + 3) = 0
Ví dụ 3: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = (x2+y2)2  4x2y2, biÕt x2  y2 = 4.
Giải
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ta biến đổi:
P = x4 + y4 + 2x2y2 ? 4x2y2
= x4 + y4  2x2y2
= (x2  y2)2
Suy ra P = 42 = 16.
Ví dụ 4: a. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
A = a4 + b4 + c4  2a2b2  2b2c2  2c2a2.
b. H·y x¸c ®Þnh dÊu cña A khi a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c.
a. Ta có:
A= (a2 ? b2 + c2)2 ? 4c2a2
Giải
= (a2  b2 + c2  2ca)(a2  b2 + c2 + 2ca)
= [(a  c)2  b2][(a + c)2  b2]
= (a  c  b)(a  c + b)(a + c  b)(a + c + b) .
b. Khi a, b, c là ba cạnh của một tam giác, ta có:
a ? c ? b < 0, a ? c + b > 0, a + c ? b > 0, a + c + b > 0,
do đó A < 0.
Hoạt động: Nhắc lại tổng bình phương của ba số.
Hoạt động: Nhắc lại tính chất ba cạnh của một tam giác.
Hoạt động: Các em hãy nêu phương pháp dưới dạng thuật toán được sử dụng để tính giá trị của một biểu thức có điều kiện.
Ví dụ 5: a. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
A = (x  y)z3 + (y  z)x3 + (z  x)y3.
b. H·y tÝnh gi¸ trÞ cña A khi x, y, z lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp cã tæng b»ng 36.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
a. Ta có:
A= (xz3 ? zx3) ? (yz3 ? yx3) + (z ? x)y3
= xz(z2  x2)  y(z3  x3) + (z  x)y3
= (z  x)[xz(z + x)  y(z2 + zx + x2) + y3]
= (z  x)[(xz2  yz2) + (x2z  xyz)  (yx2  y3)]
= (z  x)(x  y)[z2 + xz  y(x + y)]
= (z  x)(x  y)[(z2  y2) + (xz  yx)]
= (z  x)(x  y)(z  y)(z + y + x)
b. Từ giả thiết ta có:
A= 2.(-1).1.36 = -72.
Hoạt động: Với ba số tự nhiên liên tiếp x, y, z tìm giá trị của các hiệu sau:
x ? y; z ? y; z ? x.
tài liệu tham khảo thêm
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Bài giảng và lời giải chi tiết
toán THcs
toán 8
Tác giả: đào thị ngọc hà
2. Một số ví dụ về phương trình một ẩn
a. Phương trình bậc nhất một ẩn
Với phương trình ax + b = 0, ta có các kết quả:
Với a = 0 và b ? 0, phương trình vô nghiệm.
Với a = b = 0, phương trình nhận mọi x?R làm nghiệm.
Ví dụ 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a. (3x  4)(2x + 1)  (6x + 5)(x  3) = 3.
b. (x3 + x2) + (x2 + x) = 0.
c. 2x3 + x2 ? 5x + 2 = 0
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ví dụ 2: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm:
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Điều kiện có nghĩa cho phương trình là x ? ?1.
Biến đổi phương trình về dạng:
(x ? m)(x + 1) + (x ? 2)(x ? 1) = 2(x ? 1)(x + 1)
 (m + 2)x = 4 – m. (*)
a. Với m = -2, phương trình (*) có dạng 0 = 6 nên vô nghiệm.
Để phương trình vô nghiệm thì:
 m + 2 = 4 – m
 m = 1.
 m + 2 = m – 4
, vô nghiệm.
Vậy, với m = -2 ho?c m = 1 phương trình dó cho vụ nghi?m.
b. Phương trình bậc hai một ẩn
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Hoạt động: Không sử dụng ? hãy giải các phương trình:
x2 + 2x + 2 = 0; x2 + 3x + 2 = 0.
Ví dụ 1: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a. 6x2 + 7x  2 = 0.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
a. Ta viết lại:
6x2 ? 7x + 2 = 0
Khi đó:
? = (?7)2 ? 4.2.6 = 1 > 0
Khi đó:
? = (?15)2 ? 4.4.9 = 81 > 0
Hoạt động: Nêu kinh nghiệm có được khi giải phương trình a).
Hoạt động: Nêu kinh nghiệm có được khi giải phương trình b).
Ví dụ 2: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Hoạt động: Nêu kinh nghiệm có được khi giải phương trình a).
Hoạt động: Nêu kinh nghiệm có được khi giải phương trình b).
Ví dụ 3: Cho ph­¬ng tr×nh:
mx2  2(m + 1)x + m + 2 = 0.
a. Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 1.
b. Chøng minh r»ng víi mäi m ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Ta viết lại:
(1) ? (x ? 1)(mx ? m ? 2) = 0
(1)
a. Với m = 1 phương trình có nghiệm x = 3 và x = 1.
b. Với mọi m phương trình luôn có nghiệm x = 1.
Nhận xét: Với bài toán trên nếu sử dụng lược đồ giải biện luận phương trình bậc hai cho hai trương hợp của hệ sô a sẽ dài.
Ví dụ 4: Cho ph­¬ng tr×nh:
x2 + 2mx + 4m  3 = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm kÐp vµ chØ ra nghiÖm kÐp ®ã.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Phương trình có nghiệm kép khi ?` = 0
? m2 ? 4m + 3 = 0
Khi đó:
* Với m = 1, phương trình có nghiệm kép x = ?1.
* Với m = 3, phương trình có nghiệm kép x = ?3.
Nhận xét: Với đặc thù của phương trình trên thì trong trường hợp nó có nghiệm kép, ta được x0 = ?m.
Ví dụ 5: Cho hai ph­¬ng tr×nh:
x2 + ax + b = 0 vµ x2 + cx + d = 0.
BiÕt r»ng ac  2(b + d). Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Gọi ?1, ?2 theo thứ tự là biệt số của phương trình (1) và (2), ta có:
?1 = a2 ? 4b; ?2 = c2 ? 4d.
Nhận xét rằng:
?1 + ?2 = a2 ? 4b + c2 ? 4d
= (a2 + c2) ? 4(b + d)
 2ac  4(b + d)
 4(b + d)  4(b + d) = 0
Như vậy, ít nhất một trong hai ?1, ?2 không âm.
Do đo, ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Hoạt động: Hãy đặt ra các câu hỏi khác nhau khi xét hai phương trình bậc hai.
c. Hệ thức Vi-ét và các ứng dụng
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
Ví dụ 1: NhÈm nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
a. x2  5x + 6 = 0.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
b. x2  13x + 48 = 0.
ứng dụng 2: Tìm hai số biến tổng và tích của chúng
Ví dụ 2: T×m c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt, biÕt chu vi b»ng 30m vµ diÖn tÝch b»ng 54m2.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u, v, điều kiện u>v > 0.
 x2  15x + 54 = 0
Vậy, hình chữ nhật có hai cạnh là 6m và 9m.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ví dụ 3: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
Giải
Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ:
17 = (x + y)2 ? 2xy
? (x + y)2 = 9
 t2 + 3t  4 = 0
 t2  3t  4 = 0
Vậy, nghiệm của hệ đã cho là:
(1; ?4), (?4; 1), (?1; 4), (4; ?1).
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ví dụ 4: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau:
Giải
 t2  4t + 3 = 0
 x + y = 28
 t2  28t + 27 = 0
Ví dụ 5: Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Điều kiện x ? 0.
? 0 < u ? v và uv = 3.
 t2  4t + 3 = 0
Vậy, phương trình có nghiệm x =16.
Hoạt động: Hãy tạo ra phương trình khác.
ứng dụng 3: Biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm của phương trình
, với P ? 0.
, với P ? 0.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ví dụ 7: Gi¶ sö ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã c¸c nghiÖm x1, x2. H·y lËp ph­¬ng tr×nh cã c¸c cÆp nghiÖm nh­ sau:
a. ?x1 và ?x2.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
suy ra ?x1 và ?x2 là nghiệm của phương trình at2 ? bt + c = 0.
Hoạt động: Hãy sử dụng một phương trình cụ thể.
ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham số (giả sử là m)
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 3: Khử m từ hệ trên ta được hệ thức cần tìm.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Lưu ý: Bước này cần những kỹ năng khác nhau.
Ví dụ 8: Gi¶ sö c¸c ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x1, x2. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau kh«ng phô thuéc m:
a. x2  2mx  m2 = 0. b. (m  1)x2  2(m  4)x + m  5 = 0.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
Ví dụ 9: Gi¶ sö c¸c ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm x1, x2. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh sau kh«ng phô thuéc :
a. x2  2x.sin + cos  1 = 0.
b. x2  2x.tan  1  cot2 = 0.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Giải
sin2? + cos2? = 1
tan?.cot? = 1
ứng dụng 5: Dấu các nghiệm của phương trình
Dùng hệ thức Viét ta có thể xét dấu được các nghiệm x1 và x2 của phương trình:
ax2 + bx + c = 0, với a ? 0
dựa trên kết quả:
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2) khi P < 0.
3. Phương trình có hai nghiệm dương (0 < x1 ? x2 ) khi:
4. Phương trình có hai nghiệm âm (x1 ? x2 < 0 ) khi:
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ví dụ 10: Cho ph­¬ng tr×nh:
x2  2x + m = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm. Khi ®ã, tuú theo m h·y chØ ra dÊu cña hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
H­íng dÉn
1. Phương trình có hai nghiệm
’  0
2. Xét dấu hai nghiệm:
 1  m  0
 m  1
0 < m  1
m < 0
m = 0
Ví dụ 11: Cho ph­¬ng tr×nh:
x2  2(m + 1)x  m + 1 = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh:
a. Cã hai nghiÖm tr¸i dÊu.
b. Cã hai nghiÖm d­¬ng ph©n biÖt.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
H­íng dÉn
a. Phương trình có hai nghiệm trái dấu
P < 0
b. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
 1  m < 0
 m > 1.
 0 < m < 1.
Ví dụ 12: Cho ph­¬ng tr×nh:
(m  1)x2 + 2(m + 2)x + m  1 = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh:
a. Cã mét nghiÖm.
b. Cã hai nghiÖm cïng dÊu.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
H­íng dÉn
a. Phương trình có một nghiệm
Ví dụ 13: Cho ph­¬ng tr×nh:
mx2  2(3  m)x + m  4 = 0.
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh:
a. Cã hai nghiÖm ®èi nhau.
b. Cã ®óng mét nghiÖm ©m.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
H­íng dÉn
a. Phương trình có hai nghiệm đối nhau
Trường hợp m ? 0 điều kiện là:
P < 0
 m = 3.
 0 < m < 4.
ứng dụng 6: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thoả mãn một điều kiện K cho trước
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 3: Biểu diễn điều kiện K.
Bước 4: Kết luận.
? Chú ý: Trong một vài trường hợp, bài toán còn được phát biểu dưới dạng "Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình thoả mãn hệ thức cho trước ".
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Ví dụ 14: Cho ph­¬ng tr×nh:
(m + 1)x2  2(m  1)x + m  2 = 0.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
4(x1 + x2) = 7x1x2. (*)
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
H­íng dÉn
Phương trình có hai nghiệm khi
Hệ thức Vi-ét giữa hai nghiệm
Khi đó:
(*) 
 1  m  3.
 8m  8 = 7m  14
 m = 6, (tm).
Ví dụ 15: Cho ph­¬ng tr×nh:
mx2  2(m + 1)x + m + 1 = 0.
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n:
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
(*)
H­íng dÉn
Phương trình có hai nghiệm khi
Hệ thức Vi-ét giữa hai nghiệm
Khi đó:
(*) 
 1  m  0.
Ví dụ 16: Chøng minh r»ng hÖ thøc b3 + a2c + ac2 = 3abc lµ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph­¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 cã mét nghiÖm b»ng b×nh ph­¬ng cña nghiÖm cßn l¹i.
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
H­íng dÉn
Hệ thức Vi-ét giữa hai nghiệm
Thiết lập điều kiện:
 b3 + a2c + ac2 = 3abc.
tài liệu tham khảo thêm
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
Bài giảng và lời giải chi tiết
toán THcs
toán 9
Tác giả: đào thị ngọc hà
phần hình học
1. Các hệ thức trong tam giác vuông
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
2. Các công thức độ dài đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác
3. Các công thức liên quan tới các yếu tố của đường tròn
ÔN TẬP ĐẦU NĂM – TOÁN 10
giới thiệu chương trình toán 10
phần hình học
I. Vectơ
II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
III. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
I. Mệnh đề ? Tập hợp
II. Hàm số bậc nhất và bậc hai
III. Phương trình và hệ phương trình
IV. Bất đẳng thức và bất phương trình
V. Góc lượng giác và công thức lượng giác