Ôn tập Chương I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Giải tích 12

Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Phần IX : ÔN TẬP CHƯƠNG I
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần IX

ÔN TẬP CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chương I : Ứng dụng đạo hàm để Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
I. Các kiến thức cơ bản
1. Tính đơn điệu của hàm số .
2. Cực trị của hàm số.
3. Giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số.
4. Đồ thị - Công thức chuyển hệ tọa độ.
5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
6.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm Đa thức và Hữu tỉ.
7. Bài toán thường gặp về đồ thị ( tìm giao điểm ; sự tiếp xúc của 2 đường )
II. Các kiến thức cần bổ sung (căn cứ vào hệ thống bài tập và câu hỏi trắc nghiệm )
1. Khoảng lồi - lõm - điểm uốn .
2. Vẽ đồ thị có dấu trị tuyệt đối - Tiếp tuyến với đường cong - Tìm tập hợp điểm - Tìm điểm cố định - Bài toán có chứa tham số . . . .
Bài tập
Phần IX : ÔN TẬP CHƯƠNG I
Câu 1 : (3 điểm) Cho hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến
Giải
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
. TXĐ : D = R{2}

x ≠ 2 nên hàm số luôn nghịch biến trên D .
 x = 2 là tiệm cận đứng
 y = 2 là tiệm cận ngang
(trích Đề thi tốt nghiệp PT - 2009 )
BÀI TẬP 1
bằng - 5
. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-
2
+
─
─
2-
-
+
2+
Giao điểm với trục tọa độ :
. Đồ thị:
o
2
x
y
2
2) Viết phương trình tiếp tuyến
. Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là : -5
. Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) : y – y0 = y’ (x – x0)
Câu 1 : (2 điểm) Cho hàm số
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (1) , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại 2 điểm A , B và tam giác OAB cân có đỉnh tại O .
Giải
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1) của hàm số đã cho
. TXĐ : D = R{-3/2}

x ≠ -3/2 nên hàm số luôn nghịch biến trên D .
 x = -3/2 là tiệm cận đứng
 y = 1/2 là tiệm cận ngang
Bài tập 2
(1)
(trích đề thi ĐẠI HỌC khối A - năm 2009 )
. Bảng biến thiên :
x
y’
y
-
-3/2
+
─
─
1/2
-
+
1/2+
Giao điểm với trục tọa độ :
. Đồ thị:
o
-2
x
y
2/3
2) Viết phương trình tiếp tuyến
. Vì OAB cân tại O nên tt song song với y = ± 1 nên Hệ số góc của tiếp tuyến tại xo là :
. Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) : y – y0 = y’ (x – x0)
y = - x -2
vinhbinhpro
Bài tập 3
Cho hàm số :
Với giá trị nào của m , hàm số đồng biến trên khoảng
Hướng dẫn:
(bài 1.81 - sách giáo khoa)
+Trường hợp 1 :
x
y’
- ∞
+ ∞
3 - 2m
- 1
0
0
-
+
+
1
Với m > 2 hàm số đồng biến trên khoảng
; thỏa YCBT . Nhận : m > 2 (1)
+Trường hợp 2 :
x
y’
+ ∞
- ∞
-1
3 - 2m
0
0
-
+
+
1
Hàm số đồng biến trên ( 1 ; + ∞)
so với điều kiện trên m < 2
Bài tập 3
+ Trường hợp 3 : m = 2
Lúc này
Hàm số đồng biến trên R
=> Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 ; + ∞ )
Nhận m = 2 (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) ta có đáp số :
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Bài tập 4
Cho hàm số :
a) Chứng minh rằng :
luôn đi qua 1 điểm cố định
b) Chứng minh : Mọi đường cong
tiếp xúc nhau tại 1 điểm
Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong
( bài 1.83 sách giáo khoa)
Tìm điểm cố định mà :
luôn đi qua
* Gọi
là điểm cố định mà
luôn đi qua
* Viết (1) thành dạng :
* Phương trình bậc 1 theo m (2) có vô số nghiệm nên :
Giải hệ (*) ta tìm được những điểm cố định mà
luôn đi qua
HƯỚNG DẪN TỔNG QUÁT
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Bài tập 4*
Hướng dẫn :
a) * Gọi
là điểm cố định mà
luôn đi qua
Ta có :
Vậy
luôn đi qua 1 điểm cố định A ( 1 ; - 4 )
Vậy : các đường cong
luôn tiếp xúc nhau tại điểm cố định A (1 ; - 4 )
* Phương trình tiếp tuyến chung của mọi đ. cong
tại điểm A
Thay vào :
Bài tập 5
Cho hàm số :
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m , thì phương trình
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?
( trích Đề thi Đại học khối B - năm 2009)
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R .
* Sự biến thiên :
+ Giới hạn :
+ Chiều biến thiên :
-∞
+ ∞
0
-1
1
x
y’
0
0
0
+
-
+
-
Hàm số nghịch biến trên ( - ∞ ; - 1 ) ; ( 0 ; 1 ) ; đồng biến trên (- 1 ; 0) ; ( 1 ; +∞)
Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
và đạt cực đại tại x = 0
http://my.opera.com/vinhbinhpro
Bài tập 5 *
* Bảng biến thiên :
x
y
y’
-∞
+∞
0
-1
1
0
0
0
+
-
+
-
+∞
+∞
ct
ct
CĐ
-2
-2
-2
* Đồ thị :
+ Tính thêm điểm đặc biệt :
Bài tập 5 **
Giải câu b) cần bổ sung thêm kiến thức :
Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình F(x,m) = 0 (1)
HƯỚNG DẪN TỔNG QUÁT
Bước 1 : Viết phương trình (1) thành dạng f(x) = g(m)
Bước 2 : Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) và (d) : y = g(m)
(thông thường (d) là các đường thẳng // hoặc trùng với trục Ox )
Bước 3 : Căn cứ và số giao điểm hoặc tiếp điểm để kết luận .
Số giao điểm của (d) và (C) = Số nghiệm của phương trình (1)
Một tiếp điểm của (d) và (C) = Một nghiệm kép của phương trìnht (1)
Hướng dẫn câu b)
Xem phương trình (1) là pt. hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số :
và y = 2m (d)
Bài tập 5 ***
* Vẽ đồ thị hàm số :
Đặt :
Từ (a) :
=> (C’) trùng (C) trên khoảng ứng với
Từ b)
=> (C’) đối xứng với (C) qua Ox trên khoảng ứng với
Bài tập 5²**
2
- 2
y = 2m
Phương trình (1) đã cho có 6 nghiệm phân biệt  Đường thẳng y = 2m cắt đồ thị
(C’) tại 6 giao điểm .
Dựa vào đồ thị trên , yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi :
0
Bài tập 6
Cho hàm số :
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0
2.Tim m để đường thẳng y = - 1 cắt
độ nhỏ hơn 2 .
( trích Đề thi Đại học khối D - năm 2009)
Hướng dẫn :
* Tập xác định : D = R .
* Sự biến thiên :
+ Giới hạn :
+ Chiều biến thiên :
-∞
+ ∞
0
-1
1
x
y’
0
0
0
+
-
+
-
Hàm số nghịch biến trên ( - ∞ ; - 1 ) ; ( 0 ; 1 ) ; đồng biến trên (- 1 ; 0) ; ( 1 ; +∞)
Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
và đạt cực đại tại x = 0
http://my.opera.com/vinhbinhpro
có đồ thị là
, m là tham số
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành
Bài tập 6 *
* Bảng biến thiên :
x
y
y’
-∞
+∞
0
-1
1
0
0
0
+
-
+
-
+∞
+∞
ct
ct
CĐ
-1
-1
* Đồ thị :
+ Tính thêm điểm đặc biệt :
Bài tập 6**
2. Phương trình hoành độ giao điểm của
và đường thẳng y = - 1
Đặt :
Theo yêu cầu bài toán , phương trình ( 1 ) phải có 2 nghiệm dương nhỏ hơn 4 :
Bài tập 7
Cho hàm số :
m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2.Tìm các giá trị m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45°
(trích đề thi ĐH khối A -năm 2008)
Hướng dẫn:
Câu 1 ) ( học sinh tự giải)
Câu 2) . Lấy tử chia mẫu :
* m = 1/3 : đồ thị hàm số không tồn tại 2 đường tiệm cận.
=> y = mx - 2 là tiệm cân xiên
=> x = - 3m là tiệm cận đứng
Gọi :
Góc giữa d và d’ bằng 45° 
Bài tập 8
Cho hàm số :
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
(trích đề thi ĐH khối B -năm 2008)
Hướng dẫn:
Câu 1 ) ( học sinh tự giải)
Câu 2) .
điểm A (- 1 ; - 9)
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k .
* (d) là tiếp tuyến của hàm số (1)
có nghiệm
Thay (3) vào (2) :
* Với x = -1 => k = 24 . Phương trình tiếp tuyến là : y = 24 x + 15
* Với x = 5/4 => k = 15/4 . Phương trình tiếp tuyến là : y = 15/4 x - 21/4
-9
A
y = 24x +15
y= 15/4 x - 21/4
Bài tập 9
Cho hàm số :
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2.Chứng minh rằng với mọi đường thẳng đi qua I ( 1 ; 2) với hệ số góc k (k > - 3)
(trích đề thi ĐH khối D -năm 2008)
Hướng dẫn:
Câu 1 ) ( học sinh tự giải)
Câu 2) .
đều cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm I,A,B , đồng thời I là trung điểm đoạn AB
Gọi (d) là đường thẳng đi qua I (1 ; 2) và có hệ số góc k (k >- 3 ).
Nhận xét : I ( 1 ; 2) thuộc đồ thị (C) của hàm số (1)
Hoành độ giao điểm của (C) và (d) là nghiệm của phương trình :
(ứng với giao điểm I )
Với k > -3 nên ∆’ = 1 + ( k +2) = k + 3 > 0 và x = 1 không là nghiệm của (*) nên
phương trình ( a) luôn có 3 nghiệm phân biệt => (d) luôn cắt (C) tại 3 giao điểm
Bài tập 9*
Giao điểm A , B có hoành độ :
là nghiệm của phương trình (*)
Ta có :
Ngoài ra I , A , B cùng nằm trên đường thẳng (d) nên I là trung điểm AB (đpcm)
I
y = kx- k +2
Đón xem phần X : Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh phần nào rèn luyện được khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến.
vinhbinhpro