ôN TẬP

ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP

( CHƯỜNG TRÌNH LỚP 12)

HOÀNG HỮU HẺO
I / KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 / Quy tắc nhân : Giả sử một hành động gồm k giai đoạn liên tiếp. Ở giai đoạn 1 có cách chọn , ở giai đoạn 2 có cách chọn ,…., ở giai đoạn k có cách chọn. Thế thì có tất cả . …. cách chọn để thực hiện hành động trên .
2 / Hoán vị :Mỗicách sắp đặt các phần tử của một tập hợp A có n phần tử ( n 1 ) theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử .
Ký hiệu là số hoán vị của n phần tử ta có công thức : = n(n-1)(n-2)….3.2.1 = n!
3/Chỉnh hợp:Cho một tập hợp gồm n phần tử, n 1.Lấy ra k phần tử(1 k n ) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là ta có : = n(n-1)(n-2)…(n-k+1) =
( Quy ước 0 ! = 1)
4 / Tổ hợp : a/Cho một tập hợp A gồm n phần tử .Một tập con của A gồm k phần tử
Được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử .
Ký hiệu tổ hợp chập k của n phần tử là
Ta có : =

Chú ý : = = 1
b/ Một số công thức :
=
+ =
+ + +.. + =
5 / Nhị thức Niu tơn:

II / PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Dạng toán thường gặp là: Lập các số từ các chữ số đã cho.Lập các nhóm người hay đồ vật thoả mãn một số điều kiện đã cho. Chú ý cách giải quyết như sau :
1 / Nếu những hành động nầy gồm nhiều giai đoạn thì cần tìm số cách chon cho từng giai đoạn rồi áp dụng quy tắc nhân.

2 / Những bài toán mà kết quả thay đổi nếu ta thay đổi vị trí của các phần tử,thì đây là những bài toán liên quan đến hoán vị và chỉnh hợp .
3 / Đối với những bài toán mà kết quả được giữ nguyên khi ta thay đổi vị trí các phần tử thì đây là những bài toán về tổ hợp.
III / CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Bài toán 1(Quy tắc nhân) : Cho tám chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số,mỗi số gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.
Giải
Gọi là một số thoả mãn điều kiện bài toán.
- Vì nên có 7 cách chon.
- Vì x không chia hết cho 10 và nên có 6 cách chọn
- Tương tự ta chỉ còn 6 cách chọn
- Và vì nên chỉ còn 5 cách nhọn
Vậy có 7.6.6.5 = 1260 số thoả mãn điều kiện bài toán


Bài toán 2(Quy tắc nhân ):Có năm miếng bìa,trên mỗi miếng ghi 1 trong 5 chữ số 0,1,2,3,4.Lấy 3 từ 5 miếng bìa nầy đặt cạnh nhau từ trái sang phải để được các số có 3 chữ số.Hỏi lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số,trong đó có mấy số lẻ.
Giải
Gọi số cần tìm là : .
Vì nên có 4 cách chọn miếng bìa cho
Sau khi đã chon miếng bìa cho thì còn 4 cách chọn miếng bìa cho
Và cuối cùng còn 3 cách chọn miếng bìa cho
Vậy theo quy tắc nhân ,số các số lập được là : 4.4.3=48.
Vì số lẻ nên chữ số đơn vị có 2 cách chọn ( 0 hoặc 4 )
Tiếp theo có 3 cách chọ chữ số hàng trăm
Cuối cùng còn 3 cách chọn cho chữ số hàng chục
Vậy số số lẻ là 3.3.2 = 28 số

Bài toán 3 ( Hoán vị ): Có 7 người bạn A,B,C,D,E,G,H chụp ảnh chung.Họ muốn chụp ảnh chung bằng cách đổi chỗ đứng lẫn nhau,nhưng bộ ba A,B,C luôn đứng cạnh nhau theo thứ tự như thế .Hỏi có bao nhiêu bức ảnh khác nhau?
Giải
Vì bộ ba ABC luôn đứng cạnh nhau theo thứ tự nêncác thứ tự còn lại dành cho D,E,G,H.Do đó ta có thể coi như là chỉ có 5 vị trí khác nhau như sau :

Vậy kết quả của bài toán là hoán vị của 5 phần tử
= 5! = 120 bức ảnh
Bài toán 4 (phối hợp quy tắc nhân và hoán vị ): Có thể lập được bao nhiêu số chẵn có năm chữ số khác nhau lấy từ các số 0,2,3,6,9 .
Giải
Gọi số phải tìm là
Vì x là số chẵn nên có thể là 0,2 hoặc 6
Nếu chọn là 0 thì có 4 cách chọn còn các vị trí là hoán vị của ba số còn lại.Vậy với là 0 thị có tất cả 4.3! = 24 số x.
Với =2 hoặc = 6 thì có 2 cách chọn . Ứng với mỗi cách chọn nầy có 3 cách chọn còn ba vị trí còn lại là một hoán vị của ba phần tử còn lại.Do đó có tất cả2.3.3! = 36 số x tương ứng với
Vậy số các số chẵn lập được là:24 + 36 = 60 số.
Bài toán 5 ( Chỉnh hợp ) : Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau ?.
Giải
Ký hiệu số cần tìm là x =
Có 6 cách chọn số . Ứng với mỗi cách chọn thì ở 4 vị trí , , , là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử còn lại . Vậy có thể lập được = 6.5.4.3.= 2160 số tự nhiên thoả mãn yêu cầu bài toán
Bài toán 6(Phối hợp): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 18 ?
Giải :
Ký hiệu là số cần tìm
Vì tổng các chữ số là 18 nên có các khả năng xãy ra như sau :18 = 0+1+2+3+4+8
18 = 0+1+2+3+5+7
18 = 0+1+2+4+5+6
Ứng với mỗi cách chọn đó,có 5 cách chọn còn các vị trí , , , , là một hoán vị của 5 số.Vậy có tất cả : 3.5.5! = 15.120 = 1800 số thoả mãn .

Bài toán 7 ( Tổ hợp ):Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn một kỹ sư làm tổ trưởng,một công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên.Hỏi có bao nhiêu cách thành lập các tổ công tác.
Giải
Để lập tổ công tác ,có ba giai đoạn.
Chọn tổ trưởng : có 3 cách chọn kỹ sư.
Chọn tổ phó : Có 10 cách chọn 1 công nhân làm tổ phó.
Chọn tổ viên : Chọn 5 người trong 9 công nhân có (tổ hợp chập 5 của 9). Vậy theo quy tắc nhân ta có 3.10.
=30. = 3780 cách thành lập tổ công tác

Bài toán 8: Có 9 cuốn sách khác nhau được đem tặng cho 3 em học sinh:A được 4 cuốn,B được 3 cuốn,C được 2 cuốn.Hỏi có bao nhiêu phương án tặng khác nhau?
Giải:
Học sinh A được 4 cuốn tức là một tổ hợp chập 4 của 9 phần tử.Nên số cách chọn để tặng cho H/s A là . Sau khi tặng sách cho H/s A thì H/s B được 3 trong số 5 cuốn sách còn lại. Do đó số cách tặng cho H/s B là . Sau khi đã tặng cho A và B thì H/s C được 2 cuốn sách còn lại nên số cách tặng là 1=
Vậy số phương án chọn tặng sách khác nhau là . .
= = 1260 cách
CHÚC QUÝ THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC EM HỌC SINH ÔN TẬP TỐT VÀ ĐẠT KẾT QUẢ CAO TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI