Những sai lầm phổ biến thường gặp trong khảo sát hàm số

Chuyên đề :
Một số sai lầm phổ biến thường gặp
trong khảo sát hàm số
(lớp 12-ban cơ bản)
I.Đặt vấn đề :
“Người ta thường hay mắc phải những sai lầm không phải vì người ta dốt mà vì
người ta cứ tưởng mình thông minh”
Trong thực hành giải toán về khảo sát hàm số và ứng dụng của đạo hàm thường xuất hiện một
số sai lầm phổ biến trong các bài toán liên quan đến:
Tính đơn điệu
Điểm cực trị
Đường tiệm cận
Tính lồi lõm điểm uốn
Sự tương giao của các đồ thị
Phương trình tiếp tuyến
Biện luận nghiệm của phương trình bằng phương pháp đồ thị
Vẽ đồ thị hàm số…
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một số các sai lầm qua một số các ví dụ cụ thể.
Trường THPT Quảng Hà
Tổ : Toán-Tin
[email protected]
II.Giải quyết vấn đề :
II.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số đồng biến
trên



Sai lầm thường gặp :
ycbt





Nguyên nhân sai lầm :
Lời giải trên tưởng chừng như hoàn hảo nhưng sai lầm mắc phải ở đây lại bỏ sót đi trường hợp
cũng thỏa mãn bài toán.
Lời giải đúng :
Kết hợp cả hai trường hợp ở trên ta có kết quả cần tìm là :

Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số đồng biến
Sai lầm thường gặp:
ycbt

Nguyên nhân sai lầm :
Quá trình biến đổi từ (1) sang (2) là không tương đương.
Lời giải đúng :

II.2 Sai lầm khi giải bài toán cực trị :
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số có đúng một điểm cực trị
Sai lầm thường gặp :
Ta có :
Hàm số có đúng một cực trị vô nghiệm
nếu m<0
nếu m>0
Do suy ra y= 1 là tiệm cận ngang
Nguyên nhân sai lầm :
Cách giải trên chưa xét trường hợp tử số và mẫu số có nghiệm chung,khi đó hàm số bị suy biến
thành đường thẳng nên hàm số không có tiệm cận nào cả.
Lời giải đúng :
Xét m=0 hàm số là đường thẳng y= 1 nên không có tiệm cận.
Với giải như trên là đúng.
II.4.Sai lầm khi xét sự tương giao của các đồ thị :
Ví dụ 5 : Tìm m để đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số
tại ba điểm phân biệt.
Sai lầm thường gặp :
Đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt sau có 3 nghiệm phân biệt

Tương đương với pt sau có 2 nghiệm phân biệt

Nguyên nhân sai lầm :
Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt lẽ ra (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1 mới đúng.
(**) có 2 nghiệm phân biệt lẽ ra cũng mới đúng.
Lời giải đúng :
(*) có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm pb khác -1



Ví dụ 6 : Tìm m để đồ thị hàm số cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt.
Sai lầm thường gặp :
Đồ thị 2 hàm số trên cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi pt sau có 2 nghiệm phân biệt :


Nguyên nhân sai lầm :
Sai lầm ở đây là chưa đặt điều kiện cho và điều kiện để là
phương trình bậc hai.
Lời giải đúng:
m=0 : là đường thẳng nên không thể cắt đường thẳng
y=x-1 không trùng với nó tại hai điểm phân biệt.
điều kiện để có nghĩa là
ycbt có 2 nghiệm phân biệt
có 2 nghiệm phân biệt khác
có 2 nghiệm phân biệt khác




Vậy : là giá trị cần tìm của m.
II.5.Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (CTNC)
Ví dụ 7 : Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số kẻ từ điểm A(3:19).
Sai lầm thường gặp :
Dễ dàng nhận thấy A(3:19) thuộc đồ thị hàm số đã cho do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
Nguyên nhân sai lầm:
Cách giải trên viết tiếp tuyến tại điểm A (nhận A làm tiếp điểm) mà có thể bỏ sót các tiếp tuyến
đi qua điểm A (nhưng không nhận A làm tiếp điểm)
Lời giải đúng:
ptđt qua A(3;19) với hệ số góc k có dạng : y=k(x-3)+19
đt trên là tiếp tuyến có nghiệm
Thế k từ (2) vào (1) ta được :


Ta tìm được 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là và

Ví dụ 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua điểm A(0;3/2).
Sai lầm thường gặp : tương tự VD7
(1)
(2)
II.6.Sai lầm khi biện luận nghiệm của phương trình bằng phương pháp đồ thị :
Ví dụ 9 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào đồ thị hàm số câu a hãy biện luận số nghiệm của phương trình sau :

Sai lầm thường gặp : a) HS tự giải
b) Đặt x=2sint
Phương trình trở thành :



Dựa vào đồ thị câu a) ta có :
thì phương trình (*) có một nghiệm
m=1 thì phương trình (*) vô nghiệm.
Nguyên nhân sai lầm:
Trong lời giải trên chưa sử dụng điều kiện nên dẫn đến việc biện luận nghiệm của phương trình ban đầu bị sai.Và ở đây cũng chỉ biện luận nghiệm của pt “ẩn x” chứ cũng chưa biện luận nghiệm của pt “ẩn t”.
Lời giải đúng :
x=2 không phải là nghiệm của phương trình :
m(x-2)=x+1
ta có
Đồ thị của hàm số
Là phần đồ thị không bị gạch trên hình vẽ
Ta có : pt ban đầu vô nghiệm.
pt ẩn x có một nghiệm giả sử là
Khi đó suy ra phương trình ban đầu có vô số nghiệm

Ví dụ 10 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Dựa vào đồ thị câu a) hãy biện luận số nghiệm của phương trình :

Sai lầm thường gặp : tương tự VD9
II.7.Một số sai lầm khác:
Vẽ đồ thị thiếu tính đối xứng tâm ,đối xứng trục ,vẽ tiệm cận chưa chính xác …