Nhiều cách giải cho bài toán tìm giới hạn

NHIỀU CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN
Trần Đức Chiển, Trường CĐSP Quảng Ninh
1. Nhắc lại một bài toán hay
Vào những năm cuối thập kỉ 90 của thế kỉ trước, nhiều đề thi tuyển sinh đại học môn toán khối A của các trường Đại học Sư phạm có bài toán tìm giới hạn dạng
. Trong đó f(x); g(x) là các đa thức bậc nhất, bậc hai và
; chẳng hạn là: Tìm giới hạn
(1).
Bài toán có dạng tương tự (1) cũng đã được đưa vào nhiều cuốn giáo trình Giải tích hoặc Toán cao cấp; chẳng hạn:
Tìm giới hạn
(Giáo trình toán cao cấp A1. Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh).
Tìm giới hạn
; với a, b > 0.
(Nguyễn Thủy Thanh, Bài tập toán cao cấp tập 2. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007).

Bài toán (1) có thể được giải bằng những cách khác nhau, chẳng hạn:
Cách 1. Sử dụng khái niệm đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0, bài toán có thể được giải như sau:
Đặt f(x) =
thì
=
= f’(1) =


Cách 2. Có thể sử dụng quy tắc L’Hospital để giải bài toán như sau:

=
=


Cách 3. Khai triển Taylor đến cấp 2 tại điểm x0 = 1 của hai hàm số f(x) =
và g(x) =
ta có:

= 2 +
(x – 1) + O((x – 1)2);
= 2 +
(x – 1) + O((x – 1)2)
Vì vậy
=
-
=


Cách 4. Khử dạng vô định bằng cách nhân, chia với biểu thức liên hợp, bài toán có thể được giải như sau:

=
=
=
=
=
=


Cách 5. Bài toán có thể được giải bằng cách đổi biến số như sau:
Đặt
,
=
=
=
=
=


Cách 6. Đặt
,
=
=
=
=


Cách 7.

=
=
=
=


2. Nhận xét về cách 7
Nhiều người đặt tên cho cách 7 là cách gọi ra số hạng vắng.
Số hạng vắng, tại sao lại là số 2?
Số hạng vắng có thể là một số khác hay một biểu thức toán học khác chăng? Xin theo dõi một vài cách giải sau đây:
Cách 8.
=
=
=
=
=
=


Cách 9.
=
=
=
=
=
= -
+
=

Có thể chứng minh khẳng định số hạng vắng có thể là (ax + b), với a + b = 2.
Cách 10.

=
=
=
=
=
=
=
.
Mời quý vị và các bạn giải bài toán trên bằng các cách gọi ra số hạng vắng dưới nhiều dạng khác nữa; chẳng hạn là 2x2; x2 + 1;...

Trần Đức Chiển