NHÂN CỦA ĐỒ THỊ

3.3. NHÂN CỦA ĐỒ THỊ
Định nghĩa 3.3: Giả sử G = (V, F) là một đồ thị.
Tập B  V được gọi là nhân của đồ thị G nếu nó vừa là
tập ổn định trong vừa là tập ổn định ngoài của G:
1)  x  B : B  F(x) =  và
2)  y  B : B  F(y)  .
Hai điều kiện trên của nhân tương đương với đẳng thức: F-1(B) = V B.
3.3. NHÂN CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Từ định nghĩa của nhân suy ra:
- Nhân không chứa đỉnh nút.
- Nếu F(x) =  thì x phải thuộc vào một nhân nào đó của đồ thị.
VÍ DỤ 3.6
Xét các đồ thị sau đây:




Hình 3.4. Đồ thị có nhân và đồ thị không có nhân
NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI
Định lý 3.2: Nếu B là nhân của đồ thị G thì B cũng là tập ổn định trong cực đại.
Chứng minh:
Phản chứng, B không là tập ổn định trong cực đại.
Điều này có nghĩa là tồn tại a  B mà B  {a} vẫn là
tập ổn định trong. Vì B là nhân nên a sẽ kề với một
đỉnh nào đó trong B. Vậy thì B  {a} không thể là tập
ổn định trong. Suy ra điều vô lý.  

NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI (tiếp)

Chú ý: Mệnh đề ngược lại là không đúng

Với đồ thị đối xứng thì mệnh đề ngược lại của Định lý 3.2 là đúng.

VÍ DỤ 3.7
Xét phản ví dụ sau đây:







Hình 3.5. Tập ổn định trong cực đại không phải là nhân


Tập B ={a} là tập ổn định trong cực đại
nhưng không phải là nhân của đồ thị.
NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI (tiếp)
Định lý 3.3: Trong đồ thị đối xứng không có đỉnh nút, mọi tập ổn định trong cực đại đều là nhân của đồ thị.
Chứng minh:
Giả sử B là tập ổn định trong cực đại của đồ thị G.
Ta chỉ ra rằng B là ổn định ngoài.
Thật vậy, giả sử x  B. Theo tính chất cực đại của B thì x phải kề với một đỉnh y nào đó ở trong B.
Vì đồ thị G đối xứng nên y  F(x). Suy ra tập B là ổn định ngoài. 
NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI (tiếp)
Chú ý: Điều kiện G không có đỉnh nút là cần thiết vì trong trường hợp ngược lại, đỉnh x không nhất thiết phải kề với tập B.

Hệ quả 3.1: Mọi đồ thị xứng không có đỉnh nút luôn có nhân
NHÂN VÀ CHU TRÌNH
Định lý 3.4: Mọi đồ thị G không có chu trình luôn có nhân.
Chứng minh:
Theo Định lý 2.1, đồ thị G có hàm Grundy, tập các đỉnh mà tại đó hàm Grundy bằng 0 chính là một nhân của đồ thị. 

Câu hỏi: Khi nào đồ thị có chu trình có nhân?

LÕI CỦA ĐỒ THỊ
Định nghĩa 3.4: Tập con các đỉnh B được gọi là lõi của đồ thị G = (V, E) nếu:
1)  x, y  B , x  y : không tồn tại đường đi nối x với y.
2) x  B : có tồn tại đường đi từ x đến B.


Hình 3.5: Lõi và nhân của một đồ thị
LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Bổ đề 3.1: Mọi đồ thị đều có lõi
Chứng minh:
Quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị G.
n = 1 : đỉnh duy nhất cũng là lõi của đồ thị.
(n)  (n+1): Đồ thị G = (V, E) có n+1 đỉnh được
xây dựng từ đồ thị G1 = (V1, E1) có n đỉnh thêm
đỉnh a và một số cạnh kề a. Thế thì, V = V1  {a}.
- Theo giả thiết quy nạp, đồ thị G1 có lõi là B1.
LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh bổ đề:
- Nếu có đường đi từ a tới V1 thì sẽ có đường từ a tới B1, do vậy B1 cũng là lõi của G.
- Ngược lại, giả sử không có đường đi từ a tới V1. Thế thì, không có cạnh đi ra từ a và a sẽ là đỉnh treo. Ký hiệu:
B2 = { x x  B1 và không có đường đi từ x tới a }.
Ta chứng minh tập B = B2  {a} là lõi của G.
LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh bổ đề:
Giả sử x, y  B và x  y.
Ta chứng minh rằng không có đường nối x với y.
- Nếu x và y cùng thuộc B2 thì chúng cùng thuộc B1. Mà B1 là lõi của G1 nên không có đường nối x với y trong G1. Hơn nữa, cũng không thể có đường nối qua đỉnh a vì a là đỉnh treo.

LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh bổ đề:
Nếu x = a , y  B2 thì theo định nghĩa của B2 sẽ
không có đường đi từ y đến a và cũng không có
đường từ a đến y vì a là đỉnh treo.
Hình 3.7. Xây dựng lõi của đồ thị
LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh bổ đề:
Với x  B thì x  a và x  B2.Ta chỉ ra là có
đường đi từ x đến B.
Giả sử x  B1. Vì x  B2 nên có đường từ x đến
a theo định nghĩa của B2.
Giả sử x  B1. Vì x  a nên x  V1. Suy ra có
đường đi từ x đến y  B1 vì B1 là lõi của G1.
Nếu y  B2 thì theo định nghĩa của B2 sẽ có đường
đi từ y đến a. Trong tất cả các trường hợp đều suy
ra là có đường từ x đến B. 
SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN
Định lý 3.5: Mọi đồ thị không có chu trình độ dài lẻ luôn có nhân
Phương hướng chứng minh:
Ta xây dựng ba dãy tập con các đỉnh của đồ thị
V0, V1, V2, … ; B0, B1, B2, … và C0, C1, C2, … lần lượt như sau:
Đặt: V0 = V,
Chọn B0 là lõi của V0 và
C0 = { x x  V0 B0 và có cạnh đi từ x đến B0 }.

SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN (tiếp)
Phương hướng chứng minh:
Lấy V1 = V0 (B0  C0) ; B1 là lõi của V1 và
C1 = { x x  V1 B1 và có cạnh đi từ x đến B1 }.
Tương tự: V2 = V1 (B1  C1)
Hình 3.8. Cách xây dựng ba dãy tập con
SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN (tiếp)
Phương hướng chứng minh:
Giả sử đã chọn được Bi là lõi của Vi. Đặt:
Ci = { x x  Vi Bi và có cạnh đi từ x đến Bi }.
Đến một bước nào đó thì Vk Bk =  và ta đã vét hết
các đỉnh của đồ thị.
Chọn tập B = B0  B1  B2  ...  Bk. Ta chỉ ra rằng
tập B là nhân của đồ thị G. 

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY
Định lý 3.6: Nếu mỗi đồ thị con của đồ thị G đều có nhân thì G có hàm Grundy.

Chứng minh:
Xây dựng hai dãy tập con các đỉnh: V0, V1, V2, … và
B0, B1, B2, … lần lượt như sau:
V0 = V,
Chọn B0 là nhân của G.
NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
V1 = V0 B0
B1 là nhân của đồ thị con tạo bởi V1
. . . . . . . . ….
Vi+1 = Vi Bi
Bi+1 là nhân của đồ thị con tạo bởi Vi+1.
Vì mỗi nhân đều khác rỗng nên đến một bước nào đó
sẽ vét hết các đỉnh của đồ thị và ta nhận được dãy các
nhân: B0, B1, … , Bk.

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
Chứng minh định lý:
Xây dựng hàm g như sau: với x  Bi , đặt g(x) = i .
Ta chứng minh g là hàm Grundy của đồ thị.
Hình 3.9. Cách xây dựng dãy các nhân
NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
Chứng minh định lý:
1) Nếu x, y kề nhau thì chúng không thể thuộc cùng một tập Bi vì Bi là nhân, cho nên g(x)  g(y).
2) Giả sử có số nguyên i < g(x) = j.
Khi đó x  Bj  Vi Bi. Vậy thì x  Bi.
Vì Bi là tập ổn định ngoài của Vi mà x  Vi Bi nên tồn tại y  Bi sao cho y  F(x). Suy ra: g(y) = i. 
NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
Hệ quả 3.2: Đồ thị đối xứng có hàm Grundy khi và chỉ khi nó không có đỉnh nút.
Chứng minh:
Thật vậy, đồ thị có hàm Grundy thì không có đỉnh nút. Ngược lại, giả sử đồ thị G là đối xứng và không có đỉnh nút. Theo Hệ quả 3.6, mọi đồ thị con của G đều có nhân. Do vậy đồ thị G có hàm Grundy. 
TÌM NHÂN CỦA ĐỒ THỊ
Thuật toán 3.3
1. Chọn một tập ổn định ngoài bé nhất.
2. Kiểm tra xem nó có phải là tập ổn định trong hay không. Nếu đúng thì ta nhận được nhân bé nhất.
3. Tăng dần số phần tử của tập ổn định ngoài và lặp lại phép kiểm tra, để nhận được các nhân khác.
Chú ý: Nếu một đồ thị có số ổn định trong bé hơn số ổn
định ngoài thì đồ thị ấy không có nhân.
ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI
Trò chơi Nim:
Có một tập hợp hữu hạn các hình trạng V.
Cho phép chuyển từ một hình trạng sang một số hình trạng khác, gọi là các nước đi.
Có một tập con các hình trạng được gọi là tập các hình trạng kết thúc.
Xuất phát từ một hình trạng, hai đấu thủ lần lượt chọn nước đi. Ai rơi vào hình trạng kết thúc là người thua cuộc.
ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI (tiếp)
Biểu diễn đồ thị G = (V, F) cho trò chơi Nim như sau:
- Tập các đỉnh V chính là tập các hình trạng.
-Với mỗi hình trạng x thì F(x) là tập các hình trạng có thể chuyển đến trực tiếp từ x bằng các nước đi.

Nếu đồ thị biểu diễn trò chơi có nhân và tất cả các hình trạng kết thúc đều nằm trong nhân thì ta có chiến lược chắc chắn thắng sau đây:
ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI (tiếp)
Chiến lược chắc chắn thắng
Tìm cách đưa đối thủ vào nhân.
Khi đối thủ đã ở trong nhân thì đối thủ chọn nước đi nào cũng đều đi đến một hình trạng nằm ngoài nhân.
Đến lượt ta đi, khi đang ở ngoài nhân ta luôn chọn được nước đi để đưa đối thủ trở vào nhân. Đối thủ chắc chắn bị thua và ta thắng.

VÍ DỤ 3.9
Giả sử ta có m que và k là một số nguyên dương cho trước (k ≤ m).
Hai người tham gia cuộc chơi bốc que: Đến lượt đi, người chơi phải bốc một số que không vượt quá k.
Ai bốc được chiếc que cuối cùng thì người đó thắng cuộc.
VÍ DỤ 3.9 (tiếp)
Hình trạng của trò chơi là số que có thể còn lại trên mặt đất.
Đồ thị của trò chơi G = (V, F) với:
- V = { m, m -1, ... , 1, 0 } và
- F(x) = { x-1, x-2, ... , x-k },
trong tập này nếu có số âm thì ta bỏ đi.

VÍ DỤ 3.9 (tiếp)
Hàm Grundy của đồ thị G là: g(x) = x mod (k+1)
và nhân là tập B = { x x mod (k+1) = 0 }.
Số 0 là hình trạng kết thúc duy nhất cũng nằm trong
nhân.
Do vậy, nếu m  B và nếu được đi trước thì áp dụng
chiến thuật trên, chắc chắn ta sẽ thắng.

VÍ DỤ 3.9 (tiếp)
Đồ thị của trò chơi bốc que với m = 10, k = 3














Hình 3.10. Đồ thị của trò chơi bốc que
VÍ DỤ 3.9 (tiếp)
Hàm Grundy của đồ thị trò chơi là g(x) = x mod 4 và nhân của đồ thị là tập hợp B = {8, 4, 0}.

Nếu được đi trước, để thắng cuộc ta bốc 2 que để còn lại 8 que (thuộc nhân B). Sau đó nếu đối thủ bốc q que (1  q  3) thì ta bốc 4-q que, để số que còn lại là 4 (vẫn thuộc nhân). Tiếp tục như trên, nếu đối thủ bốc q que (1 q  3) thì ta lại bốc 4-q que là hết.
Đối thủ không còn que để bốc và ta thắng cuộc.
VÍ DỤ 3.10
Có ba đống que với số lượng tương ứng là m1, m2, m3. Hai người chơi lần lượt bốc que. Đến lượt đi, người chơi bốc một số que tuỳ ý ở trong một đống.
Ai bốc được chiếc que cuối cùng thì người đó thắng cuộc.

VÍ DỤ 3.10 (tiếp)
Trước hết, ta xét trò chơi rất đơn giản sau đây:
Có một đống gồm m que. Hai người tham gia cuộc chơi, đến lượt đi người chơi phải bốc một số que tuỳ ý. Ai bốc được chiếc que cuối cùng thì người đó thắng cuộc.
VÍ DỤ 3.10 (tiếp)
Đồ thị của trò chơi này là một đồ thị định hướng có m+1 đỉnh: m, m-1, ... , 1, 0 và cặp (i, j) tạo nên một cạnh khi và chỉ khi i > j.
Hàm Grundy của đồ thị này là: g(x) = x.

Đồ thị của trò chơi bốc ba đống que ở trên là đồ thị tổng của ba trò chơi riêng biệt mà ta vừa xét: G = G1 + G2 + G3.

VÍ DỤ 3.10 (tiếp)
Hàm Grundy của G là:
g((x,y,z)) = g1(x)  g2(y)  g3(z).
Nhân của đồ thị là B = { (x,y,z) x y  z = 0 }. Hình trạng (0, 0, 0) là hình trạng kết thúc duy nhất nằm trong nhân.
Do vậy, có thể áp dụng chiến thuật chơi ở trên.
VÍ DỤ 3.10 (tiếp)
Chẳng hạn, với m1 = 6, m2 = 5, m3 = 2.

Nếu được đi trước, ta phải bốc ở đống thứ hai 1 que để
dẫn tới đỉnh (6, 4, 2)  B. Sau đó đối thủ bốc thế nào
cũng dẫn tới đỉnh nằm ngoài nhân, ta vẫn có thể bốc để
dẫn đến đỉnh nằm trong nhân.
VÍ DỤ 3.10 (tiếp)
Chẳng hạn, anh ta bốc 3 que ở đống thứ nhất thì ta bốc 3 que ở đống thứ hai và dẫn tới hình trạng (3,1,2)  B. Anh ta lại bốc 3 que ở đống thứ nhất thì ta bốc 1 que ở đống thứ ba để dẫn tới hình trạng (0, 1, 1)  B. Anh ta bốc 1 que ở đống nào thì ta bốc nốt que ở đống còn lại và thắng cuộc.
Có thể mở rộng các trò chơi trên thành trò chơi với số đống que tuỳ ý.