Nguyễn Thanh ơi. Sai đề rồi!

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R), ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O; R), gọi I là trung điểm của BC. Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích của tam giác ABH, tam giác ACH và tam giác OAB. Chứng minh: S1 + S2 = 2S3
Bài làm: ( Đề có chút nhầm lẫn: S3 là diện tích của tam giác OBC)



Ta có: BH và KC cùng vuông góc với AC nên BH và KC song song với nhau.
Tương tự: KB và HC cũng song song với nhau.
Do đó BHCK là hình bình hành, nên HK và BC cắt nhau tại trung điểm I của BC và HK.
Tam giác OBC cân tại O nên OI vuông góc với BC tại I
Tam giác AHK có OI là đường trung bình nên OI =
AH
Do đó Ta có:

Hay: S1 + S2 = 2S3
Nếu đề bài của bạn là đúng thì ta có diện tích tam giác AOB bằng diện tích tam giác BOC
Khi đó dễ dàng suy ra A và C cách đều đường thẳng BO. Suy ra BO là tia phân giác của góc ABC.
Suy ra BO đồng thời là đường phân giác đồng thời là đường cao của tam giác ABC.
Khi đó tam giác ABC cân tại B.
Vậy Bài toán của bạn chỉ đúng khi tam giác ABC cân tại B thôi.