Nguyên lý Dirichlet

Chào cô và tất cả các bạn
Nguyên lý Dirichlet
Nhóm 2 thực hiện
Các thành viên trong nhóm:
Trần Tuấn Anh ( nhóm trưởng)
Lương Lê Văn
Dương Đình Long
Phạm Việt Trang
Hoàng Lê Minh Tiến
Trần Linh Tố Anh
Nội dung nguyên lý Dirichlet
Nếu nhốt n.m + r ( m, n, r là các số nguyên dương) con thỏ vào n cái chuồng thì phải có ít nhất một chuồng chứa không ít hơn m+1 con thỏ
Ví dụ 1:
Có 10 đội bóng thi đấu với nhau mỗi đội phải đấu một trận với các đội khác. CMR vào bất cứ lúc nào cũng có hai đội đã đấu số trận như nhau
Key
Giải ví dụ 1:
Rõ ràng nếu trong 10 đội bóng có 1 đội chưa đấu một trận nào thì trong các đội còn lại không có đội nào đã thi đấu 9 trận như vậy 10 đội chỉ có số trận đấu hoặc từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9. Vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 2 đội có số trận đấu như nhau.
Ví dụ 2:
Lấy 2 số trong 12 số TN bất kì thì tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 20
Key
Giải ví dụ 2:
Nếu trong 12 số tự nhiên đó có ít nhất 2 số cùng số dư khi chia cho 20 thì hiệu của 2 số đó chia hết cho 20 .
* Giả thiết rằng trong 12 số không số nào chia cho 20 cùng số dư thì ta luôn tìm được 1 tổng của 2 số tự nhiên mà tổng đó chia hết cho 20 .
( Số dư của một số chia cho 20 có thể là 0;1;2;3;...;17;18;19. )
trong 11 số đầu tiên thì dư khác nhau vậy ta còn 20-11=9 số dư khác nữa . 9 số dư này lấy 1 số bất kỳ cộng với 1 trong 11 số đã chọn ta được một số chia hết cho 20 . )
Ví dụ 3:
Bên trong tam giác đều ABC cạnh 1 đặt 5 điểm. CMR tồn tại 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 0,5.
Key
Giải ví dụ 3:
Các đường trung bình của tam giác đều cạnh 1 sẽ chia nó ra làm 4 tam giác đều cạnh 0,5. Do đó trong một tam giác nhỏ đó có ít nhất 2 điểm đã cho, và các điểm đó không thể rơi vào các đỉnh của tam giác. Vậy khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ hơn 0,5.
Ví dụ 4:
Trong mặt phẳng cho sáu điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là ba đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôi cùng một màu..
Key
Giải ví dụ 4:
Xét A là 1 trong sáu điểm đã cho, khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi điểm nối A với các điểm còn lại). Vì mỗi điểm được tô màu đỏ hoặc xanh nên có ít nhất 3 điểm có cùng màu. Giả sử cho rằng các điểm này là B1, B2, B3 và cho chúng cùng màu xanh.
Nếu ít nhất một trong ba đoạn B1B2, B2B3, B3B1 màu xanh thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán úng trong trường hợp này
Nếu không phải như vậy, tức là B1B2, B2B3, B3B1 màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là B1,B2,B3, và B1B2B3 là tam giác với ba cạnh đỏ. Đpcm
Cảm ơn đã theo dõi!