Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichle ...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Lê Thị Liễu
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
SƠN LA, NĂM 2010
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
KẾT LUẬN
TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
PHẦN MỞ ĐẦU
CHƯƠNG 1
CHƯƠNG 2
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khoá luận
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
2.2. Phương pháp nghiên cứu
2.3. Phạm vi nghiên cứu
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
3.1. Mục đích nghiên cứu
3.2. Nhiệm vụ của khoá luận
3.3. Những đóng góp của khoá luận
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn khoá luận
Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Lapace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loại eliptic, hypebolic và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩa thông thường thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với các phương trình trên những miền bất kì hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là là nghiệm “ thô” lúc đầu là nghiệm “ khá gần” với nghiệm hầu khắp nơi hoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường. Sau đó nhờ các công cụ của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm dần đến nghiệm thông thường. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự khám phá của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai”.
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
PHẦN MỞ ĐẦU
2. Đối tượng, phương pháp, phạm vi nghiên cứu
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic cấp hai.
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là nghiên cứu lí thuyết cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin. Sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày thành một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn.
2.2. Phương pháp nghiên cứu
2.3. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic cấp hai và những kiến thức cơ sở liên quan đến việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet.
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
PHẦN MỞ ĐẦU
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
3.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai.
Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng.
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
PHẦN MỞ ĐẦU
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
3.2. Nhiệm vụ của khoá luận
Nhiệm vụ nghiên cứu của khoá luận là nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai.
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
PHẦN MỞ ĐẦU
3. Mục đích, nhiệm vụ và những đóng góp của khoá luận
3.3. Những đóng góp của khoá luận
Đóng góp nổi bật của khoá luận là cung cấp được một hệ thống tri thức mới chuyên sâu về môn phương trình đạo hàm riêng hiện đại. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm suy rộng, các không gian Sobolev. Ngoài ra ta biết các tính chất, vấn đề liên quan đến các khái niệm kiến thức này. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy – Dirichlet đối với phương trình parabolic cấp hai, cụ thể là phương pháp xấp xỉ Galerkin.
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
CHƯƠNG 1:
1.1 Không gian Sobolev
Định nghĩa.
Định lí 1.
Định lí 2.
Định lí 3.(Tính khả ly)
Định lí 4.(Tính liên tục toàn cục)
1.1.1. Không gian
1.1.2. Không gian Lp

Định lí 5
Định lí 6.
Định lí 7.
1.1.3. Trung bình hóa
Chú ý.
Định lí 8.
1.1.4. Đạo hàm suy rộng
1.1.5. Không gian Sobolev
Định lí 9.
Chú ý.
Định lí 10.
Định lí 11.
Định lí 12.
Định lí 13.
1.1.6. Không gian
Định lí 14. ( Friedrichs)
Định lí 15.
Định lí 16.
Định lí 17.
1.1.7. Không gian
Định nghĩa 1.
Định nghĩa 2.
Định lí 1.
1.1.9. Không gian phụ thuộc thời gian
Định nghĩa 3
Định lí 2
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
MỘT SỐ KIẾN THỨC LIÊN QUAN
CHƯƠNG 1:
1.1 Không gian Sobolev
1.2. Các bất đẳng thức
Định lí 4
1.2.1. Bất đẳng thức Gronwall – Bellman
Định lí 3
1.2.2. Bất đẳng thức năng lượng
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET
ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
CHƯƠNG 2:
2.1.1. Thiết lập bài toán
2.1. Mở đầu
Định nghĩa.
2.1.2. Mô típ của định nghĩa nghiệm suy rộng
2.1.3. Nghiệm suy rộng
2.2.1. Một số đánh giá tiên nghiệm
2.2. Sự tồn tại duy nhất của nghiệm suy rộng
2.2.2. Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Định lí 2.
Định lí 3.
2.2.3. Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
NGHIÊN CỨU TÍNH ĐẶT ĐÚNG CỦA BÀI TOÁN CAUCHY – DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CẤP HAI
KẾT LUẬN
Trên đây là một số kết quả mà chúng tôi thu được nhờ việc vận dụng kiến thức giải tích hàm, phương pháp xấp xỉ Galerkin, các bất đẳng thức vào việc nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy - Dirichlet đối với phương trình parapolic cấp hai.
Tuy nhiên nhiệm vụ của khoá luận chỉ dừng ở yêu cầu nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán Cauchy- Dirichlet đối với phương trình parapolic cấp hai.
Thông qua khoá luận này chúng tôi mong nó có thể trở thành một tài liệu có ích cho các bạn, ngoài ra khóa luận này còn ứng dụng với nhiều phương trình khác như phương trình phi tuyến tính, phương trình cấp cao, phương trình hypepolic, eliptic .