Nghịch lý Bertran về xác suất

Nghịch lý Bertran về xác suất
Joseph Louis François Bertrand  (1822 – 1900) là một nhà toán học Pháp,  chuyên nghiên cứu về  Lý thuyết số, Hình học vi phân, Lý thuyết xác suất, Kinh tế và Nhiệt động học. Năm 1888, trong tác phẩm “Calcul des probabilités”  (Tính toán về xác suất), ông có đưa ra một thí dụ để dẩn chứng về tính bất định của xác suất  khi cơ cấu hay phương pháp để xác định các biến số thay đổi không được định nghĩa rõ ràng. Thí dụ đó về sau được gọi là “Nghịch lý Bertrand”. 
(Để phân biệt Nghich lí này với “Nghịch lý Bertrand - người nói dối” của nhà toán học logic Bertrand Russell , NBS đặt thêm là Nghịch lý Bertran về xác suất. )
I.-Nghịch lý từ 1 bài toán
Dựng một cách ngẫu nhiên một đoạn thẳng (có hai điểm trên một vòng tròn cho trước). Tìm xác suất sao cho dây cung này lớn hơn độ dài của cạnh tam giác đều nội tiếp trong vòng tròn đó.
Để trả lời cho câu hỏi này, có rất nhiều lời giải. Dưới đây là ba lời giải cổ điển của nó:
Lời giải 1:
 Dây cung phải được bắt đầu từ một điểm nào đó trên vòng tròn. Ví dụ, điểm đó là điểm A như trên hình 7:
Tất cả các đường thẳng từ A quét hết một góc (
( = 2(/3
Rõ ràng chỉ có những đường thẳng trong góc ( màu xanh tạo nên những dây cung lớn hơn cạnh của tam giác đều nội tiếp.
Suy ra: Ở bất kỳ điểm A nào đó trên vòng tròn đều có kết quả
Xác suất thỏa mãn điều kiện bài toán bằng 1/3
Lời giải 2:
 Bất kỳ điểm nào trong đường tròn có thể là trung điểm của một dây cung nào đó. Và ngược lại điểm đó chỉ là trung điểm của một dây cung duy nhất (trừ tâm vòng tròn).
Từ hình 8, ta thấy chỉ có những đường thẳng có điểm giữa nằm trong vòng tròn nội tiếp tam giác đều mới có độ dài lớn hơn cạnh tam giác.
Suy ra:
Xác suất = Diện tích vòng tròn nội tiếp/ Diện tích vòng tròn ngoại tiếp = ¼.

Lời giải 3:
 Không mất tính tổng quát, ta chỉ xét những dây cung song song với đường kính vòng tròn nào đấy (Các đường khác có thể nhận được nhờ quay). Chúng ta hoàn toàn thấy được tổng tất cả các đường bằng tổng tất cả các bộ đường song song như thế với các góc quay khác nhau. Nên ta chỉ cần xét một bộ đường song song là đủ.
Tất cả những đoạn thẳng nằm trong vùng màu xanh đều thoả mãn điều kiện.
( Suy ra xác xuất bằng ½.
 Nghịch lý Bertran qua 3 cách giải trên đã hiện rõ !
II.- Phân tich Nghịch lý của bài toán
Hầu hết tất cả các chuyên gia, qua các lời giải trên, đều cho rằng đề ra không chính xác. Tất cả xoay quanh cụm từ “dựng một cách ngẫu nhiên đoạn thẳng”. Dựng thế nào? Bằng cách gì? Ngẫu nhiên ra sao? Ngẫu nhiên nào ngẫu nhiên hơn?...
Dù ngôn ngữ có những lệch lạc với logic toán học, nhưng ngay cả những lệch lạc đó cũng có giới hạn của nó chứ không thể dựng ngẫu nhiên một đoạn thẳng là ta có thể lấy một điểm trên vòng tròn rồi vẽ đường thẳng ngẫu nhiên. Có cái gì đó bất ổn!!!
Ta thử xem đoạn thẳng phải được dựng như thế nào?
Theo đề toán việc chúng ta nhận được đoạn thẳng (dây cung) là hiển nhiên. Nói cách khác, cứ một lần thử nghiệm một cách ngẫu nhiên ta phải có một dây cung hay xác suất nhận được dây cung phải bằng 1. Rõ ràng, nếu thế phải có ít nhất một điểm trên mặt đường tròn nằm trên đường thẳng (điều mà từ đó ta có thể kéo dài cho nó cắt đường tròn tạo ra dây cung).
Như vậy, việc tạo ra dây cung hiển nhiên một cách ngẫu nhiên có phải tương đương với một trong hai điều sau:
1. Điểm bên ngoài và thước kẻ: Lấy ngẫu nhiên một điểm ngoài vòng tròn. Từ điểm này dựng hai tiếp tuyến với đường tròn. Đặt thước kẻ qua điểm đó và di động ngẫu nhiên trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Chọn bất kỳ vị trí ngẫu nhiên của thước kẻ, dựng một đường thẳng cắt đường tròn, ta nhận dây cung.
2. Điểm bên ngoài và điểm bên trong: Lấy một điểm ngẫu nhiên bên ngoài đường tròn, sau đó lấy một điểm ngẫu nhiên khác trong vòng tròn. Nối chúng lại, dựng được một dây cung.
3. Điểm bên trong và thước vẽ: Lấy ngẫu nhiên một điểm trên mặt đường tròn, đặt cây thước vào điểm đó vẽ ngẫu nhiên một đường thẳng cắt vòng tròn tạo thành một dây cung. Kể cả phương pháp đặt ngẫu nhiên thước kẻ vào vòng tròn và kẻ