Một số PP chứng minh thông dụng (Chương trình Trung cấp SP Tiểu học)

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THÔNG DỤNG
Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Hà
Tổ Toán – Khoa Tự nhiên
Ví dụ:
Xác định giả thiết và kết luận trong các mệnh đề sau:
a. Chứng minh rằng:
b. “Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”.
Chú ý:
- Giả thiết thường đứng sau từ “nếu” và đứng trước từ “thì”.
- Kết luận thường đứng sau từ “thì”.
Chứng minh một mệnh đề:
- Chứng minh một mệnh đề là dùng các luật logic để suy từ giả thiết tới kết luận.
- Trong quá trình lập luận, ngoài giả thiết ta có quyền sử dụng các mệnh đề đã được chứng minh hoặc thừa nhận là đúng.
Các bước tiến hành để chứng minh một bài toán.
- Bước 1: (Trước khi chứng minh) Xác định rõ giả thiết và kết luận.
- Bước 2: (Chứng minh) Ngoài giả thiết ta có quyền sử dụng các mệnh đề đã được chứng minh hoặc được thừa nhận là đúng.
- Bước 3: (Kết luận) Đưa ra kết luận của bài toán.
Bài toán 1:
Cho a và b là hai số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng tổng của a và b là một số chẵn.

Một bạn học sinh đã làm như sau:
Vì a và b lẻ nên:
Ta có: a + b = (2m + 1) + (2n + 1)
= (2m + 2n + 2)
= 2(m + n + 1).
Vì 2(m + n + 1) chia hết của 2 do đó 2(m + n + 1) là số chẵn, hay a + b là số chẵn (ĐPCM).
(?) Bạn học sinh trên đã giải bài toán như thế nào?
Phương pháp chứng minh trực tiếp:
- Là phương pháp sử dụng các quy tắc suy luận để đi thẳng từ giả thiết đến kết luận.
- Quy tắc bắc cầu:
+ Lập n mệnh đề trung gian (n ≥ 1): A1,A2,…,An.
+ Chứng minh:
là đúng.
Phương pháp chứng minh trực tiếp:
- Để tìm con đường chứng minh:
- Để trình bày chứng minh:
- Đôi khi, ta có:
Ví dụ áp dụng 1:
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Ta có:
Với c > 0 thì c.(a - b) > 0
(ĐPCM).
Ví dụ áp dụng 2:

Chứng minh rằng tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
Giả thiết
Kết luận
AB = AC
Ví dụ áp dụng 2:
Lời giải:
Kẻ . Theo định lý Pytago trong tam giác vuông, ta có:
+ HB2 = AB2 – AH2,
+ HC2 = AC2 – AH2.
Vì AB = AC nên suy ra HB = HC.
(c-c-c) vì có:
+ AB = AC (theo giả thiết),
+ AH chung,
+ HB = HC (theo chứng minh trên).
(ĐPCM).
Phương pháp chứng minh gián tiếp (chứng minh phản chứng):

- Cơ sở của phương pháp là quy tắc suy luận phản chứng:
- Giả sử A sai, nghĩa là giả sử đúng. Từ giả thiết đúng, áp dụng các quy tắc suy luận ta được hai mệnh đề mâu thuẫn nhau hoặc mâu thuẫn với giả thiết.
Điều đó chứng tỏ giả thiết đúng là sai, nghĩa là A phải đúng.
Ví dụ áp dụng 3:
Chứng minh: “Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”.
Ví dụ áp dụng 3:
Chứng minh:
- Giả sử A sai, tức là “a không song song với b”.
- Vì a khác b, a không song song với b nên
- Như vậy, “qua O ta vẽ được hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng c” (B).
- (B) mâu thuẫn với một mệnh đề đúng đã biết trước: “Trong một mặt phẳng, từ một điểm cho trước ta kẻ được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho”
- Vậy mệnh đề “a không song song với b” là sai. Chứng tỏ mệnh đề phải chứng minh (A) là đúng.
Ví dụ áp dụng 4:
Cho p nhỏ nhất.
Chứng minh rằng p là số nguyên tố.
Ví dụ áp dụng 4:
Lời giải:
Giả sử p nhỏ nhất nhưng p không phải là số nguyên tố.
Vì p ≠ 0, p ≠ 1, p không là số nguyên tố nên p là hợp số. Khi đó
Ta có:

Do đó q là ước của n và 1 < q < p. Điều này trái với tính nhỏ nhất của p.
Vậy p phải là số nguyên tố (ĐPCM).
Bài toán 2:
Ví dụ 2: Xét biểu thức:

Ta có:
F0 = 3 là số nguyên tố.
F1 = 5 là số nguyên tố.
F2 = 17 là số nguyên tố.
F3 = 257 là số nguyên tố.
F4 = 65537 là số nguyên tố.
Do đó Fk là số nguyên tố với
Bài toán 2:
→ Fecma đưa ra mệnh đề: “Với mọi số tự nhiên k, Fk là số nguyên tố”.
Nhưng Euler đã chỉ ra với k = 5 thì
F5 = 232 + 1 = 4294967297 không phải số nguyên tố vì nó chia hết cho 641.
Quy nạp là gì?
Quy nạp là lối lập luận lấy việc chứng nghiệm riêng mà quy về lẽ chung.
(Trích “Từ điển Tiếng Việt 2001” – NXB Văn hóa – Thông tin).
Nguyên lí quy nạp toán học:
Một hàm mệnh đề P(n),
thỏa mãn:
- P(a) đúng, tức là P(n) đúng khi n = a.
- P(n) đúng thì P(n + 1) cũng đúng.
Khi đó P(n) đúng với mọi
Các bước chứng minh quy nạp:
Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với
ta tiến hành chứng minh các bước:
- Bước 1: Kiểm tra bài toán đúng với n = a.
- Bước 2: Giả sử bài toán đúng đến n = k,(k > a). Chứng minh bài toán đúng đến n = k + 1.
Kết luận: Bài toán đúng với mọi
Ví dụ áp dụng 5:
Ví dụ: Cho Sn = 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1),
Chứng minh rằng: Sn = n2.
Lời giải:
+ Với n = 1, ta có: S1 = 1 = 12 (bài toán đúng).
+ Giả sử bài toán đúng đến n = k, (k > 1), tức là:
Sk = 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2.
Ta chứng minh bài toán đúng đến n = k + 1, nghĩa là:
Sk + 1= (k + 1)2.
Thật vậy, ta có:
Sk + 1 = [1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1)] + (2k + 1)
= Sk + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1) = (k + 1)2 (ĐPCM).
Bài tập củng cố:
Bài tập 1: Chứng minh rằng là số vô tỉ.
Hai bạn học sinh đã giải bài toán trên như sau:
* HS1: Bấm máy tính ta có:
= 1,414213562. Dễ thấy đó là số vô tỉ (ĐPCM).
* HS2:
Bài tập củng cố:
Giả sử không vô tỉ, tức là hữu tỉ.
Khi đó ƯC(m,n) = 2, mẫu thuẫn với giả thiết
ƯCLN(m,n) = 1.
Vậy phải là số vô tỉ.
Câu hỏi:
1. Đánh giá hai lời giải của hai bạn học sinh trên?
2. Bạn học sinh đã sử dụng phương pháp chứng minh nào?
Bài tập củng cố:
Bài tập 2:
Cho:

Chứng minh rằng:

Có thể chứng minh bài toán trên bằng những phương pháp nào? Viết sơ đồ tóm tắt chứng minh theo một phương pháp nào đó.

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN
CÁC THẦY CÔ GIÁO
VÀ CÁC EM HỌC SINH!