MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý TRONG DẠY ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN HÌNH HỌC

PHÒNG GD – ĐT HUYỆN NGHI XUÂN
CHUYÊN ĐỀ CỤM
THÀNH MỸ - HOA LIÊN – CƯƠNG GIÁN
CHUYÊN ĐỀ:
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ MỘT SỐ ĐIỂM
CẦN LƯU Ý TRONG DẠY ÔN THI VÀO LỚP 10 PHẦN HÌNH HỌC
I. LÝ THUYẾT
- Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song
- Các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
- Tiên đề Ơclít và hệ quả của tiên đề Ơclít .
- Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác.
- Định lý Py-ta-go.
- Tính chất ba đường đồng quy trong tam giác (Tính chất ba đường cao).
1. Kiến thức lớp 7
I. LÝ THUYẾT
- Tính chất và các dấu hiệu nhận biết các tứ giác (Hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông).
- Công thức tính diện tích các hình đặc biệt.
- Định lý Ta-lét và hệ quả của định lý Ta-lét.
- Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác (Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông thông thường trường hợp g- g)
2. Kiến thức lớp 8
I. LÝ THUYẾT
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Định lý quan hệ vuông góc của đường kính và dây cung.
- Tính chất tiếp tuyến của đường tròn.
- Vị trí tương đối của hai đường tròn.
- Tính chất chung của hai đường tròn.
- Các loại góc với đường đường tròn (Có hai loại góc hay sử dụng góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
- Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn (Có hai phương pháp thường sử dụng chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800, tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau)
- Công thức tính chu vi, diện tích, độ dài cung tròn.
3. Kiến thức lớp 9
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp.
Dạng 2. Chứng minh tam giác đồng dạng  tỉ lệ thức  đẳng thức.
Dạng 3. Nhận biết các loại tứ giác?
Dạng 4. Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc, ba điểm thẳng hàng.
Dạng 5. Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Đề năm 2011-2012
Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm P, Q sao cho P thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm của tia AP và tia BQ; H là giao điểm của hai dây cung AQ và BP.
a) Chứng minh tứ giác CPHQ nội tiếp đường tròn. (Dạng 1)
b) Chứng minh (Dạng 2)
c) Biết AB = 2R, tính theo R giá trị của biểu thức:
S = AP.AC + BQ.BC (Ứng dụng của Dạng 2)
Bài giải
III. BÀI TẬP
Các đề thi vào lớp 10 THPT của Hà Tĩnh
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
.

Suy ra tứ giác CPHQ
nội tiếp được đường tròn đường kính CH.
a) - Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
- Cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng phương pháp xét tổng hai góc đối bằng 1800 . (Lưu ý)
b) Sử dụng kiến thức về hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung. (Lưu ý trường hợp đồng dạng hay sử dụng g-g)
Xét CBP và HAP có:
(suy ra từ a)
(góc nội tiếp cùng chắn cung )
CBP ÿ HAP


Gọi K là giao điểm của tia CH và AB. Từ giả thiết suy ra K thuộc cạnh AB (1)
. Suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

Từ đó suy ra:


- Cộng từng vế của (2) và (3) và kết hợp với (1), ta được:
c) Vận dụng kiến thức tính chất ba đường cao trong tam giác và các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông  tỉ số đồng dạng.
Chú ý câu c: Hướng dẫn học sinh vận dụng hệ thức đã chứng minh bài 23 SGK tr76
Trong hệ thức giữa độ dài liên quan đến đường tròn, ta chú ý cho học sinh hệ thức: Nếu hai cát tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm M thì : MA .MB = MC.MD
Hệ thức giữa các đoạn cát tuyến của đường tròn.


Đề năm 2012-2013
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H (D  BC, E  AC)
a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn. (Dạng 1)
b) Tia AO cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành. (Dạng 3)
c) Gọi F là giao điểm của tai CH với AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Sử dụng diện tích đa giác)

Bài giải
a) Ứng dụng bài toán quỹ tích
Vì AB và BE là các đường cao nên ta có:

Vậy tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn đường kính AB.
b) - Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
- Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song.
- Dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có H là trực tâm của tam giác ABC nên:
Từ (1) và (2), suy ra: BH // CK, CH // BK.
Vậy tứ giác BHCK là hình bình hành
Đặt
Vì tam giác ABC nhọn nên trực tâm H nằm trong tam giác ABC, do đó:
Ta có:




Cộng vế theo vế (1), (2), (3), ta được:
c) Sử dụng tính chất ba đường cao và kiến thức về diện tích đa giác
Áp dụng bất đẳng thức Côssi cho 3 số dương, ta có:



Nhân vế theo (4) và (5), ta được:
Đẳng thức xẩy ra
Hay H là trọng tâm của tam giác ABC,
nghĩa là tam giác ABC đều.






Đề năm 2013-2014
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N thuộc (O)). Qua A vẽ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C phân biệt (B nằm giữa A, C). Gọi H là trung điểm đoạn thẳng BC
a) Chứng minh rằng tứ giác ANHM nội tiếp được đường tròn
b) Chứng minh rằng
c) Đường thẳng qua B song song với AN cắt đoạn thẳng MN tại E. Chứng minh rằng EH // NC
Bài giải
* Theo GT AM, AN là các tiếp tuyến với đường tròn (O) nên:


Ta lại có HB = HC (gt)
(đường kính đi qua trung điểm dây cung)

Do đó
a) - Vận dụng tính chất tiếp tuyến, quan hệ vuông góc giữa đường kính và đây  góc vuông.
- Vận dụng kiến thức quỹ tích cung chứa góc.
- Hoặc chứng minh theo định nghĩa đường tròn.
Hay năm điểm A, M, O, H, N cùng thuộc một đường tròn đường kính AO. Suy ra tứ giác ANHM nội tiếp đường tròn
b) - Vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng. Với bài toán trên GV cần hướng dẫn học sinh cách phân tích ngược để từ đó nghĩ đến xét các cặp tam giác đồng dạng để dẫn đến điều ta cần.
- Vận dụng kiến thức về góc nội tiếp cùng chắn một cung
b) Xét có:

(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)



c) Theo câu a, tứ giác ANHM nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Mặt khác, vì BE//AM (gt) (đồng vị).
Do đó hay , suy ra tứ giác HMBE nội tiếp đường tròn.
Suy ra: (góc nội tiếp cùng chắn cung )
(góc nội tiếp cùng chắn cung )



c) -Vận dụng kiến thức về tứ giác nội tiếp
- Góc nội tiếp cùng chắn một cung.
- Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Đề năm 2014-2015
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BCEF nội tiếp đường tròn.
b) Biết ABC = 450, ACB = 600, BC = a. Tính diện tích tam giác ACD theo a
Bài giải
*) Theo giả thiết ta có:
Do đó đỉnh E, F cùng nhìn đoạn BC dưới một góc bằng 900
Nên tứ giác BCEF nội tiếp được đường tròn đường kính BC.
a) Vận dụng kiến thức về quỹ tích cung chứa góc (hoặc định nghĩa đường tròn).
*) Xét ADB có (gt) và .
Nên ADB vuông cân tại D
 AD = BD = BC – CD = a – CD.
Mặt khác ACD vuông tại D.
Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:






b) Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Đề năm 2015-2016
Cho tam giác nhọn ABC, đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp được trong một đường tròn.
b) Gọi K là giao điểm của đường thẳng BC với đường thẳng AH. Chứng minh ∆BHK đồng dạng ∆ACK.
c) Chứng minh: KM + KN ≤ BC. Dấu “ =” xảy ra khi nào?
Bài giải
*) Theo giả thiết ta có:
(Do cùng chắn một nữa đường tròn).



=> Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn.
a) - Vận dụng kiến thức về góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
- Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng phương pháp tổng hai góc đối diện bằng 1800
b) - Vận dụng kiến thức về tính chất ba đường cao trong tam giác.
Kiến thức tứ giác nội tiếp để suy ra hai góc bằng nhau.
- Kiến thức trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
*) Vì BN  AC, CM  AB => H là trực tâm ∆ABC.
=>AK  BC =>
=> Tứ giác ABKN nội tiếp đường tròn.
(cùng chắn cung KN)
∆BHK và ∆ACK có:

*) Từ M kẻ đường vuông góc với BC cắt đường tròn tại P=>BC là trung trung trực của MP (tính chất đối xứng của đường tròn) =>KP=KM
Ta có các tứ giác ABKN, BMHK nội tiếp

(cùng phụ với hai góc bằng nhau)
Mặt khác BC là trung trực của MP nên

=>3 điểm P, K, N thẳng hàng

suy ra KM + KN = KP+ KN = PN ≤ BC (do PN là dây còn BC là đường kính). Dấu “=” xảy ra khi K trùng O, khi đó ∆ABC cân tại A
c) - Vận dụng tính chất đối xứng của đường tròn.
- Quan hệ giữa các dây trong một đường tròn.
- Kiến thức chứng minh ba điểm thẳng hàng
Đề năm 2016-2017
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Từ điểm M trên tại Ax kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm khác A). Đoạn AC cắt OM tại E, MB cắt nửa đường tròn tại D (D khác B).
a) Chứng minh AMCO, AMDK là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác MDO và MEB đồng dạng.
c) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là giao điểm của MB và CH. Chứng minh: EI vuông góc với AM
Bài giải
*) Ta có Ax và MC là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn nên



do đó tứ giác AMCO nội tiếp.
a) - Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng phương pháp tổng hai góc đối diện bằng 1800, vận dụng kiến thức về quỹ tích cung chứa góc.
- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
- Tính chất tiếp tuyến.
Ta có: MA = MC (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OA=OC (bán kính)
O ≠ M
=> OM là trung trực của đoạn AC

Lại có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Từ (1) và (2) suy ra
cùng nhìn AM nên tứ giác AMDE nội tiếp
*) Ta có: MD.MB = MA2 (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
ME.MO = MA2
MD.MB = ME.MO


Xét MDO và MEB, có:
Góc M chung



b) - Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (Lưu ý)
- Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh. (Lưu ý)
Lại có CH // AC nên theo định lý Ta lét ta có:


 IC = IH
Xét ACH, có:
CI = IH; AE = EC
 IE là đường trung bình của ACH  EI // AB  EI  AM
c) - Vận dụng hệ quả của định lý ta lét.
- Tính chất đường trung bình của tam giác.
BC cắt tia Ax tại P, ta có MO song song BC (vì cùng vuông góc với AC) mà AO = OB nên AM = MC.
Đề năm 2017 - 2018
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB cố định. I là điểm cố định thuộc đoạn OA (I không trùng với O và A). Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại M và N. Gọi C là điểm túy ý thuộc cung lớn MN (C không trùng các điểm M, N và B). Gọi E là giao điểm của AC và MN.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AE . AC = AI . AB.
c) Chứng minh khi điểm C thay đổi trên cung lớn MN của đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài giải
*) Xét AEB và AIC, ta có:

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )



Hay AE . AC = AB . AI
*) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác IECB có:

 Tứ giác IECB nội tiếp đường tròn.
a) Vận dụng kiến thức góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
b) Vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ thức.
*) Ta có MN  AB tại I

Mà
Từ (1) và (2) suy ra MA là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác EMC
MB cố định chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác EMC.
Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM di động trên đường thẳng cố định.
c) Vận dụng kiến thức định lý đảo của định lý về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Cách 2:
c) Gọi giao điểm của (J) ngoại tiếp tam giác MEC với BM là K. Ta có

=> KE//AB mà AB MN
nên EK  MN
suy ra MK là đường kính (J) nên điểm J  MK hay J  BM.
Do I cố định, AB cố định; MN AB tại I nên MN cố định do đó MB cố định vậy J  MB cố định.
PHÒNG GD – ĐT HUYỆN NGHI XUÂN
CHUYÊN ĐỀ CỤM
THÀNH MỸ - HOA LIÊN – CƯƠNG GIÁN
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN