Một số đẳng thức đối xứng sơ cấp

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
3.1.2. Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp
Đa thức với bộ biến số thực được hiểu là hàm số (biểu thức) có dạng



trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Công thức khai triển nhị thức Newton:



Nếu ta coi như là tích của thừa số:


thì khi đó tích
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
cũng có thể viết dưới dạng:


trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Vậy nên, nếu các số đều dương (hoặc không âm và không đồng thời bằng 0) thì không mất tính tổng quát, các số
đều là số dương (không âm). Từ (3.6) , thu được





Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.1.
Cho là bộ số dương Khi đó




trong đó


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG

Đặt Ta gọi là các hàm (đa thức) đối xứng sơ cấp thứ là tổng của tất cả các tích số khác nhau của bộ số ).

Ký hiệu:


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG

Định nghĩa 3.2. Giả sử là bộ các số thực không âm (ký hiệu bởi ) và là bộ các số thực không âm khác (được ký hiệu bởi ).
Hai dãy và gọi là đồng dạng ( ) nếu tồn tại
sao cho
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG

Bài toán 3.3. Cho là bộ các số thực dương. Đặt

Chứng minh:
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Chứng minh. Giả sử



là tổng tất cả các tích số khác nhau,



Vì tất cả các và và không phải

là nghiệm của phương trình và tương ứng, nên và không phải là nghiệm bội trong các phương trình

nhận từ đạo hàm của nó.

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Từ đó ta có thể kết luận các số dương, tức là phương trình



nhận được từ bằng cách lấy vi phân liên tiếp theo và
Do phương trình này có nghiệm thực nên

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG


Bài toán 3.4. Chứng minh bất đẳng thức

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Chứng minh: Từ bất đẳng thức trong Bài toán 3 ta có


Suy ra





hay

Từ đây, ta có ngay điều phải chứng minh.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Bài toán 3.5. Cho các số và không đồng thời bằng nhau. Chứng minh bất đẳng thức



Chứng minh. Theo bất đẳng thức trong Bài toán 1, ta có




Suy ra
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Nhận xét 3.1. Ta dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Thật vậy, giả sử bất đẳng thức đúng với số dương
và đặt là các tạo bởi số ấy và giả sử tất cả các số đó không đồng thời bằng nhau.
Khi đó:


Từ đó suy ra:

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
trong đó





Vì các không đồng thời bằng nhau nên theo giả thiết ta có



Điều này vẫn đúng khi Khi đó

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

BÀI GIẢNG
Hệ quả 3.2.

trong đó





Đặc biệt, chính là bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và trung bình nhân.