Một số BT tích phân đường

Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
Để lại phản hồiGo to comments
I. Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 2: Công của 1 lực biến đổi.
Trong Vật lý phổ thông, ta đã biết công A của 1 lực 
 tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường thẳng từ B đến C được tính bởi công thức:

, với 
(1.1)
Hay ta có: 
 (tích vô hướng giữa vectơ F và vectơ BC).
Bây giờ, bài toán đặt ra là cần tính công A của một lực 
 tác dụng lên 1 chất điểm M chuyển động trên đoạn đường cong 
 từ B đến C.
Lực 
 biến thiên liên tục dọc theo cung BC và có thành phần theo phương ngang (hình chiếu xuống trục Ox) là P(x,y) và thành phần theo phương đứng (hình chiếu xuống trục Oy) là Q(x,y) (chúng là những hàm số liên tục trên cung BC). Ta có:

(1.2)
trong đó 
 là các vectơ đơn vị trên hai trục Ox và Oy.
Chia cung BC 1 cách tùy ý thành n cung nhỏ bởi các điểm chia 
 có các độ dài tương ứng là 
 .
Xét cung nhỏ thứ i: 
.
Trên cung đó, vì độ dài 
 khá bé nên có thể xem như cung 
 trùng với đoạn thẳng 
 và chất điểm M coi như chuyển động thẳng trên cung này. Ngoài ra, có thể xem như lực 
 không đổi và bằng 
 với 
 là 1 điểm tùy ý trên cung thứ i. Do đó, công của lực F tạo nên khi chất điểm M chuyển động dọc theo cung 
 gần đúng bằng:
(1.3)
trong đó 
 và 
, 
, 
 là các hình chiếu của 
 xuống hai trục Ox và Oy. Do đó, công A của lực F tạo nên khi chất điểm chuyển động dọc theo cung phẳng từ B đến C được tính gần đúng bằng:

(1.4)
Khi tăng số phần chia n lên sao cho các cung 
 càng nhỏ lại thì sự sai biệt giữa An và A càng bé. Do đó, hiển nhiên công A do lực 
 tạo ra được xem là giới hạn của An khi 
 sao cho 
. Vậy:


Hay:  (1.5)
II. Tích phân đường loại 2:
1. Định nghĩa tích phân đường loại 2:
Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung 
 thuộc mặt phẳng (Oxy).
Từ biểu thức (1.5) nếu tổng An tiến đến 1 giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung BC và cách chọn điểm 
 trên mỗi cung nhỏ 
 thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 2 (tích phân theo tọa độ) của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung BC và được ký hiệu là:


2. Khái niệm cung trơn:
Giả sử cung 
 có phương trình 

Cung 
 được gọi là cung trơn nếu tồn tại các đạo hàm 
 liên tục và không đồng thời bằng 0.
Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia thành hữu hạn các cung trơn.
3. Định lý tồn tại:
Nếu các hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa cung 
 trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB.
(ta công nhận kết quả này)
4. Tính chất:
1. Từ định nghĩa dễ thấy rằng: nếu ta đổi chiều trên cung từ C đến B thì các hình chiếu của vectơ 
 lên hai trục Ox, Oy đổi dấu, do đó: 

2. Nếu P, Q khả tích trên cung AB và 
 được chia thành 2 cung 
 thì P, Q cũng khả tích trên 2 cung đó và khi ấy ta có: 

3. Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định.
Chú ý:


Hướng dương trên miền đa liên
- Trong trường hợp cung 
 là đường cong kín L (điểm đầu trùng điểm cuối), ta có 2 hướng đi dọc theo cung đường cong kín trên. Khi đó, L là biên giới hạn của miền kín D, ta quy ước chọn chiều dương trên L là chiều sao cho 1 người đi  dọc trên biên sẽ thấy miền giới hạn D nằm về phía tay trái. Hướng ngược lại là hướng âm.
Trong trường hợp miền D là miền đơn liên, thì chiều dương chính là chiều ngược chiều kim đồng hồ.
Khi đó, ta thường ký hiệu tích phân đường dọc theo đường cong kín L theo chiều dương là: 

- Trong vật lý, thường ta hay gọi tích phân đường loại 2 là tích