Một số bài toán về tỉ lệ thức

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU.
I./ ĐẶT VẤN ĐỀ
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy các bài toán dùng kiến thức về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau để giải một số bài toán là một trong những nội dung kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 7, trong đó việc phân loại bài tập và phương pháp suy luận tìm tòi lời giải đối với từng dạng là một việc làm cần thiết để bồi dưỡng và nâng cao cho học sinh đặc biệt là đối với đối tượng học sinh khá trở lên. Vì vậy từ thực tế giảng dạy tôi xin đưa ra một số bài toán để cùng trao đổi với đồng nghiệp hy vọng góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm chung trong việc nâng cao chất lượng dạy học.
Các bài toán về tỉ lệ thức là một mảng toán rất rộng nên tôi không có ý định đề cập tới tất cả các dạng ở các khối lớp mà chỉ hạn chế mức độ toán 7 để sử dụng trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp 7. Rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp.
II./ NỘI DUNG
1. Lý thuyết Tỷ lệ thức là đẳng thức giữa hai tỷ số
* Tính chất của tỷ lệ thức:

Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức
suy ra a.d = b.c
Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ 0 cho ta các tỷ lệ thức:

,
,
,

Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức
suy ra các tỷ lệ thức:
,
,

* Tính chất của dãy tỷ lệ thức bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức
suy ra các tỷ lệ thức sau:
, (b ≠ ± d)
Tính chất 2:
suy ra các tỷ lệ thức sau:

, (b, d, j ≠ 0)
Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, 7 tức là ta có:

III./ CÁC DẠNG BÀI TẬP
Tôi xin chia 5 dạng cụ thể sau:
Toán chứng minh đẳng thức
Toán tìm x, y, z, ...
Toán đố
Toán về lập tỷ lệ thức
Áp dụng và chứng minh bất đẳng thức
A. Loại toán chứng minh đẳng thức
Bài 1. Chứng minh rằng : Nếu
thì
với a, b, c, d ≠ 0
Giáo viên hỏi: Muốn chứng minh trước hết xác định bài toán cho ta điều gì? Bắt chứng minh điều gì?
Giải: Với a, b, c, d ≠ 0 ta có:


(1)

(2)
Từ (1) và (2) =>
(ĐPCM)

Bài 2: Nếu
thì:
a,

b,

Giải: - Nhận xét điều phải chứng minh?
Làm như thế nào để xuất hiện 5a, 5c, 3b, 3d?
Bài 1 gợi ý gì cho giải bài 2?
Từ
(đpcm)



(đpcm)

Bài 3: CMR: Nếu
thì
điều đảo lại có đúng hay không?
Giải: + Ta có:

+ Điều đảo lại cũng đúng, thật vậy:
Ta có:


Bài 4: Cho
CMR

Giải:
(đpcm)

Bài 5: CMR: Nếu
thì

Giải:
Ta có:

Từ

Từ (1) và (2)
(đpcm)

Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) và 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 thì

Giải:
Ta có:

Từ (3) và (2)


(đpcm)

Bài 7: Cho a, b, c, d là 4 số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện:

và

CM:

Giải: + Ta có

+ Ta có

+ Từ (1) và (2) ta có

Mặt khác: