Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Mục lục
Bài toán 1
Ví dụ 1
Ví dụ 2
Bài toán 2
Tiếp tuyến tại 1 điểm
Tiếp tuyến đi qua 1 điểm
Tiếp tuyến có hệ số góc k
Ví dụ 3
đồ thị và các tiếp tuyến
Sự tiếp xúc của hai đường
Bài toán 3
đề bài tập
đồ thị (C)
đồ thị (C1)
đồ thị (C2)
đồ thị (C3)
Kết luận

Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Bài toán 1: Xác định giao điểm của hai đường
Bài toán 2: Viết PT tiếp tuyến
Bài toán 3: đồ thị chứa giá trị tuyệt đối
Tiết 41
1. Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C1). Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1).

Giải:
M0(x0; y0) là giao điểm của (C) và (C1) khi và chỉ khi (x0; y0) là nghiệm của hệ:
Nếu x0, x1, . là nghiệm của (1) thì các điểm M0(x0; f(x0)) ; M1(x1; f(x1)) . là các giao điểm của (C) và (C1)
để xác định hoành độ giao điểm của (C) và (?) ta làm như thế nào?
Do đó để xác định hoành độ các giao điểm của (C) và (C1) ta giải PT:
f(x) = g(x) (1)

Ví dụ 1:
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số:
và
PT hoành độ giao điểm của (C) và (?):

m ? 8: (2) có nghiệm duy nhất

Giải:

Nghiệm này khác - 2.
(do
vô lý)
Nếu m = 8: PT có dạng 0x - 19 = 0 (Vô nghiệm)
Vậy trong trường hợp này, (C) và (?) có một giao điểm là:

? (C) không cắt (?).

Ví dụ 2
a) Vẽ đồ thị hàm số : y = x3 + 3x2 - 4
b) Dựa vào đồ thị, hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 + 3x2 - 4 = m (*)

Giải:
a) Ta có đồ thị (C) như hình vẽ
b) Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d):
y = m
Số giao điểm của (C) và (d) tuỳ theo m?
Kết luận:

? (*) có 1 nghiệm


+
+
m = 0
m = - 4
? (*) có 2 nghiệm
+
Nếu - 4 < m < 0
? (*) có 3 nghiệm
m > 0
m < - 4
để biện luận số nghiệm của PT:
F(x, m) = 0 (*) dựa vào đồ thị (C) có PT
y = f(x). Ta biến đổi (*) ? f(x) = g(m), sau đó biện luận số giao điểm của (C) với đường thẳng y = g(m), từ đó rút ra kết luận.
Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x). Gọi (C) là đồ thị, viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
Trường hợp 1 : Tiếp tuyến tại M0(x0 ; y0) ? (C)
Giải :
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0 ; y0) là :
y - y0 = f ’ (x0) (x - x0)
+ x0 ? y0 ; f`(x0)
+ y0 ? x0 ; f`(x0)
+ f`(x0) ? x0 ; y0
x0
y0
M0
Trường hợp 2:
Tiếp tuyến đi qua điểm M1(x1; y1 )
Giải:

- Đường thẳng d đi qua điểm M1(x1; y1) và có hệ số góc k có phương trình:
y- y1 = k(x - x1)
? y = k (x- x1) + y1
- Để cho d là tiếp tuyến của
(C), hệ sau phải có nghiệm :

f(x) = k(x- x1) + y1
f ’(x) = k
x1
y1
M1
Giải hệ ta sẽ có x0 ? k = f`(x0)
Trường hợp 3:
Tiếp tuyến có hệ số góc là k
Giải:

Giải phương trình:

Hoành độ các tiếp điểm x0, x1, ...
? PTTT có dạng:
f`(x) = k
?
y - yi = k(x - xi) (i = 0, 1, ...)
Ví dụ 3. Cho đường cong (C): y = x3 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đó :
a) Tại điểm (1 ; 1)
b) Tiếp tuyến đi qua điểm (1; 1)
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
Giải:
Ta có: y`= 3x2
a) y` (1) = 3 ? Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y - 1 = 3(x - 1) ? y = 3x - 2
b) PTđT (d) với hệ số góc k qua (1; 1) có dạng:
y = k(x - 1) + 1
x = -1 ? PTTT: y = 3x +2
để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau có nghiệm:
x = 1 ? k = 3 ? PTTT: y = 3x +2
b) Phương trình hoành độ tiếp điểm: 3x2 = 3 ? x = ? 1
x = 1 ? y(1) = 1 ? PTTT: y - 1 = 3(x - 1 ) ? y = 3x - 2
đồ thị (C) và các tiếp tuyến
(!) Chú ý:
Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị tương ứng là (C) và (C`)
(C ) và (C`) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu tại tiếp điểm chúng có cùng một tiếp tuyến
f(x) = g(x)
f`(x) = g`(x)
? hệ PT sau có nghiệm :

Bài toán 3: đồ thị chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ 4
Vẽ đths
, từ đó suy ra đồ thị:
y? + 0 ? ? 0 +
x ?? 0 1 2 +?
y ? 3 +? +?
?? ?? 1
đồ thị (C): y = f(x)
Bảng BT:
đồ thị:
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
đồ thị (C1): y = |f(x)|
đồ thị (C1) là đường màu đỏ .
Nó được suy ra từ (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị phía dưới.

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
đồ thị (C2): y = f(|x|)
đồ thị (C2) là đường màu đỏ .
Nó được suy ra từ (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy
- Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị vừa vẽ.

đồ thị (C3)
đồ thị (C2) là đường màu đỏ .
Nó được suy ra từ (C) bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Tcđ
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị bên trái Tcđ
Kết luận
Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox và Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị phía dưới.
Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải Oy và Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị đó.