Một số bài toán khảo sát hàm số

Bài 7 :  MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1:

Tìm giao điểm của hai đường
Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là (C ) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C1).Hãy tìm các giao điểm của (C) và (C1).
Cách Giải :
B1: Giải phương trình hoành độ giao điểm sau :
f(x) =g(x) (1)
B2: Tính các giá trị của y0 ,y1…. tương ứng với các giá trị x0 ,x1…. tìm được ở (1).
B3:Ghi các giao điểm (x0,y0) ; (x1,y1)…

Chú ý : Ta có thể làm ngược lại , Có nghĩa là dưạ vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình
Ví Dụ 1 :
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số sau :


và
Cách giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm :

(1)

(2)
Biện luận :
1) m = 8.Phương trình (2) có dạng: 0x-19=0

Ví dụ 2 :
a) Vẽ đồ thị hàm số
y = f(x) = x3 + 3x2 -2 (C )
b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phươnh trình
x3 + 3x2 – 2 = m (3)
Giải :
a) Đồ thị hs tự vẽ.
b) Số nghiệm của (3) chính là số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị (C ) .Ta vẽ thêm đường thẳng y = m và tìm số giao diểm cuả để suy ra số nghiệm của (3)
Biện luận:
a) m > 2 : (3) có một nghiệm.
b) m = 2 : (3) có 2 nghiệm (một đơn , một kép).
c) -2 < m < 2 : (3) có 3 nghiệm.
d) m = -2 : (3) có hai nghiệm (một đơn , một kép).
e) m < -2 : (3) có một nghiệm.
Bài toán 2 :
Viết phương trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x).
a) Gọi (C) là đồ thị của nó, hãy viết phương trình của tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M0(x0,f(x0)).
b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm M1(x1,y1)và tiếp xúc với (C)
c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C)
Cách Giải :
a) Ta đã biết phương trình của tiếp tuyến của (C) tại M(x0,y0) (y0 = f(xo) ) :
y – y0 = f’(x0)(x – x0)

b) Đường thẳng d đi qua M1(x1,y1) và có hệ số góc k có phương trình là : y = k(x – x1) + y1 .
Để cho đường thẳng d tiếp xúc với (C),hệ phương trình sau phải có nghiệm :


Hệ trên cho phép xác định hoành độ x0 của tiếp điểm,và hệ số góc k = f(x0)của tiếp tuyến.

Cách Giải :
c)Với k đã cho,giải phương trình : f’(x) = k,
ta tìm được hoành độ các tiếp điểm x0,x1,… Từ đó suy ra phương trình các tiếp tuyến phải tìm :
y – yi = k(x –xi) (i = 0,1,2,…..)

BTVN :
1)Dùng đồ thị ,biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
x3 – 6x + 5 – m = 0 (1)
2) Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình :
mx2 – (3m + 1 )x + 2m = 0 (2)
Bài tập : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 SGK trang 103,104