Mô men động lượng

CHƯƠNG 10: ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CHUYỂN ĐỘNG QUAY
10.1 Mômen quay
10.2 Mômen quay và gia tốc góc đối với vật rắn
10.3 Sự quay của vật rắn quanh một trục chuyển động.
10.4 Công và công suất trong chuyển động quay.
10.5 Mô men động lượng.
10.6 Sự bảo toàn mômen động lượng.
10.7 Con quay hồi chuyển và sự thay đổi góc quay.
10.1 Mômen quay
Số đo định lượng về hướng của một lực để gây ra hoặc biến đổi chuyển động quay của một vật được gọi là mômen quay.
Kí hiệu mômen quay: bằng chữ cái τ (“tau”).

ĐN: Mômen quay của lực đối với điểm O bằng tích số giữa độ lớn của lực và cánh tay đòn của lực.
BT: τ = F.l (10.1)
F:độ lớn của lực
l : Khoảng cách vuông góc hạ từ điểm O đến giá của lực.
Chú ý: Bạn cần phải nói “mômen của lực đối với một điểm X” hoặc “mômen của lực
tại điểm X.”
Quy ước:
Chọn các mômen quay nhận chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là dương.
và các mômen quay nhận chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là âm.
Các mômen quay của lực và lực đối với O là:
τ1 = + F1.l1 ; τ2 = - F2.l2;
Kí hiệu:

Để biểu diễn việc ta chọn chiều quay thuận là dương.

Đơn vị SI của mômen quay là: newton.met (N.m).
ĐN: Khi một lực tác dụng tại một điểm có bán kính véc tơ đối với gốc O, thì mômen quay của lực đối với O là đại lượng véc tơ:
(10.3)
Véc tơ có:
Phương: vuông góc với cả và .
Chiều: xác định bằng quy tắc bàn tay phải.
Độ lớn: τ =F.l = r.F.sin = Ftan.r (10.2)
10.2 Mômen quay và gia tốc góc của VR
Định luật II Newton: F1,tan = m1.a1,tan (10.4)
Sử dụng pt (9.14): a1,tan = r1.αz, ta nhận được:
F1,tan.r1 = m1.r12.αz (10.5)
τ1z=F1,tan.r1, là tổng mômen quay tác dụng lên phần tử.
m1.r12 = I1, là mômen quán tính của phần tử.
Ta viết lại pt (10.5):
τ1z = I1.αz = m1.r12.αz.
Đối với tất cả các phần tử:
τ1z + τ2z + ...= I1.αz + I2.αz+ ...= m1.r12.αz + m2.r22.αz +..
hoặc:
VT: là tổng của tất cả các mômen quay tác dụng lên tất cả các phần tử đối với trục quay.
VP: là tổng mômen quán tính đối với trục quay.
αz: gia tốc góc (như nhau đối với tất cả các phần tử).
Định luật II Newton cho chuyển động quay đối với vật rắn: (10.6)
Mômen quay của các nội lực có tổng bằng không, như vậy tổng trong pt (10.6):

chỉ bao gồm mômen quay của các ngoại lực.
10.3 Sự quay của vật rắn quanh một trục chuyển động.
Chuyển động của vật rắn: là kết hợp của sự quay và tịnh tiến.
Mọi CĐ của vật rắn theo chiều dương:
chuyển tịnh tiến của khối tâm
chuyển động quay đối với trục qua khối tâm.
Kết hợp chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay: các mối quan hệ về năng lượng.
Động năng của vật rắn với cả hai CĐ: tịnh tiến và quay là:
(10.11)

: CĐ tịnh tiến của khối tâm

: CĐ quay quanh trục qua khối tâm
Trường hợp quan trọng của sự kết hợp giữa tịnh tiến và quay là sự lăn không trượt.
Điều kiện: vcm = Rω (10.14)
Nếu coi CĐ của bánh xe lăn là CĐ quay quanh trục quay tức thời qua điểm 1 thì động năng của bánh xe bằng ,với I1 là mômen quán tính của bánh xe đối với trục qua điểm 1.
I1 = Icm+MR2, ở đây M là tổng khối lượng của bánh xe và Icm là mômen quán tính đối với trục qua khối tâm.
Vậy động năng của bánh xe là:


pt này giống như pt (10.11).
Chú ý:
Mối quan hệ vcm=Rω chỉ đúng nếu tại đó là CĐ lăn không trượt.
Nếu VR thay đổi độ cao khi CĐ thì thế năng hấp dẫn của VR bằng thế năng hấp dẫn của chất điểm có khối lượng M đặt tại vị trí trọng tâm của VR đó.
Tức là: U = Mgycm.
Kết hợp tịnh tiến và quay: Động lực học
Đối với VR có tổng khối lượng M, gia tốc của khối tâm bằng gia tốc của chất điểm có khối lượng M được tác dụng bởi tất cả các ngoại lực hiện có trên vật:
(10.15)
pt (10.6):
(10.16)
Icm là mômen quán tính đối với trục quay qua khối tâm
tổng mômen quay của các ngoại lực đối với trục quay này.
Pt (10.16) là phù hợp ngay cả khi trục quay CĐ, miễn là hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
1) Trục quay qua khối tâm phải là trục đối xứng.
2) Trục quay phải không thay đổi hướng.
Các điều kiện này được thoả mãn đối với các loại chuyển động quay.
Một trong chúng là pt (10.15), mô tả CĐ tịnh tiến của khối tâm.
Một pt khác là pt (10.16), mô tả CĐ quay xung quanh trục qua khối tâm.
10.4 Công và công suất trong chuyển động quay.
Công dW đã được thực hiện bởi lực :
dW = Ftan ds.
Nếu dθ tính theo rad, thì ds = R.dθ và:
dW = Ftan R dθ.
Như vậy: dW = τ zdθ. (10.22)
Tổng công W được thực hiện bởi mômen quay từ θ1 đến θ2 :
Công thực hiện bởi mômen quay không đổi:
W = τz(θ2-θ1) = τzΔθ. (10.24)
(là tích số của mômen quay và độ dịch chuyển góc).
Nếu mômen quay (N.m) và độ dịch chuyển góc (rad) thì công (jun).
Từ pt (10.6): τz =I.αz và nếu mômen quán tính I là không đổi.
Ta biến đổi hàm dưới dấu tích phân trong pt (10.23) đưa về ωz như sau:


Do đó: (10.25)

Độ biến thiên động năng quay của vật rắn bằng công thực hiện bởi các ngoại lực tác dụng lên vật. Pt này tương tự pt (6.13), ĐL công-năng lượng cho một hạt.
Khái niệm công suất:
Từ pt (10.22) ta có: .

* dW/dt là tốc độ thực hiện công, hay công suất P,
* và dθ/dt là vận tốc góc ωz, như vậy:
P = τzωz (10.26)
ĐN: Khi mômen τz (đối với trục quay) tác dụng lên một vật làm vật quay với tốc độ góc ωz thì công suất của nó (tốc độ thực hiện công) là tích số của τz và ωz.
Tương tự: đối với phần tử CĐ tịnh tiến.
10.5 Mô men động lượng ( ):
đặc trưng cho CĐ quay về mặt động lực học.
ĐN: Mômen động lượng của một chất điểm có khối lượng m không đổi, vận tốc , động lượng và bán kính véc tơ hướng từ gốc 0 của trạng thái quán tính, là:
BT: (10.27)
Đơn vị : là kg.m2/s.
Véc tơ mômen động lượng có:
Phương: vuông góc với mp
Chiều: xđ bằng quy tắc bàn tay phải.
Độ lớn là:
L = mvr.sin = mvl. (10.28)
(Giá trị của phụ thuộc vào việc chọn gốc O)
.l là: khoảng cách vuông góc kẻ từ phương của véc tơ đến gốc O.
Khi chất điểm được tác dụng bởi hợp lực thì vận tốc và động lượng thay đổi, nên mômen động lượng của nó cũng có thể thay đổi.
Từ pt (10.27), ta có:


Thay , nhận được:
(10.29)
Vậy: ``Tốc độ thay đổi của mômen động lượng của chất điểm bằng mômen quay của hợp lực tác dụng lên nó``.
Xét vật rắn quay xung quanh trục z với tốc độ góc ω.
Mỗi chất điểm sẽ CĐ theo một đường tròn, tâm tại gốc.
Tại mọi thời điểm, các chất điểm quay với tốc độ góc ω như nhau, và vận tốc vuông góc với bán kính véctơ .
Một chất điểm có khối lượng mi tại vị trí cách O một khoảng cách ri có tốc độ vi = riω.
Độ lớn: Li = mi(riω).ri = mi.ri2.ω (10.30)
Lấy tổng pt (10.30), ta có:

I là mômen quán tính của miếng mỏng đối với trục z.
Khi một vật quay quanh
trục đối xứng z thì sẽ nằm
dọc theo trục đối xứng và có
độ lớn là: L = I.ω.
Mối quan hệ của các véc tơ và : (10.31)
Nếu tổng mômen động lượng của hệ chất điểm là
và tổng mômen các ngoại lực là thì:

(10.32)
Nếu hệ chất điểm là một VR quay quanh trục đối xứng (trục z), thì Lz= Iωz và I là không đổi.
Nếu trục này cố định trong không gian thì các véctơ và chỉ thay đổi về độ lớn, không thay đổi về hướng.
Khi đó, dLz/dt=I.dωz/dt=I.αz, hoặc:

-Pt ĐL II NT viết cho chuyển động quay-
Nếu trục quay của VR không phải là trục đối xứng, thì không nằm dọc theo trục quay.
Còn nếu không đổi thì phương, chiều của thay đổi và tổng mômen quay được cần đến để duy trì sự quay.
10.6 Sự bảo toàn mômen động lượng:
Từ pt (10.32):
Nếu thì và

ND: Nếu mômen quay của hợp lực tác dụng lên một hệ bằng không, thì tổng mômen động lượng của hệ là không đổi (được bảo toàn).
BT:
ĐKAD: hệ là cô lập hoặc tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0
PVAD: trong mọi phạm vi từ hệ nguyên tử và hạt nhân đến CĐ của các thiên hà.
VD: Một diễn viên xiếc, vận động viên nhảy cầu, và vận động viên trượt băng múa quay tròn trên mũi chân của giày trượt băng, tất cả đều tuân theo nguyên lý này.
Đó là: I1ω1z = I2ω2z (10.33)
(mômen quay của ngoại lực bằng không)

Xét hai vật A và B tương tác lẫn nhau.
Theo pt (10.32), ta có:
Từ ĐL III Newton:


Cộng 2 pt trước, ta có:

Vì là tổng mômen động lượng của hệ nên:
(10.34)

(tổng mômen quay của ngoại lực bằng không)
Tức là, tổng mômen động lượng của hệ là không đổi.
Các mômen quay của các nội lực có thể truyền mômen động lượng từ vật này tới vật khác, nhưng chúng không thể thay đổi tổng mômen động lượng của hệ.
10.7 Con quay hồi chuyển và sự thay đổi góc quay
Một con quay hồi chuyển được đỡ bởi một đầu của cột. Bởi vì bánh đà quay với tốc độ góc ω, bánh đà và trục không rơi xuống nhưng thay vì thế chuyển động trong đường tròn nằm ngang được gọi là sự thay đổi góc quay. Tốc độ thay đổi góc quay là Ω.
Trái đất tự nó thay đổi góc quay; trục quay của nó (xuyên qua cực bắc và cực nam) thay đổi phương, chiều rất chậm, sau mỗi một chu kì của sự thay đổi góc quay là 26.000 năm.
Pt (10.32): áp dụng cho trường hợp bánh đà không quay .
Ban đầu, không có sự quay và mômen động lượng ban đầu bằng không.
Mômen động lượng sau một khoảng thời gian ngắn dt là:
(10.35)
Sự thay đổi này theo chiều của trục y vì .
Như vậy, sau mỗi dt trôi qua, độ thay đổi mômen động lượng bằng sự tăng thêm một lượng theo chiều của trục y bởi vì phương, chiều của mômen quay là không đổi
Nếu ban đầu bánh đà quay, mômen động lượng ban đầu là khác không
Từ đó, bánh đà quay quanh trục đối xứng của
nó, nằm dọc theo trục này.
Trong trường hợp này phương, chiều của là
thay đổi, nhưng độ lớn không thay đổi.
Sự thay đổi luôn luôn theo đường nằm ngang
trong mặt phẳng xy, như vậy véctơ mômen động
lượng và trục bánh đà luôn luôn chuyển động trên
đường nằm ngang. Trong phát biểu khác, nó thực
sự là sự thay đổi góc quay.
Ngay khi mô tả trong hình 10.35a, con quay hồi
chuyển có mômen động lượng .Sau khoảng thời
gian ngắn dt, mômen động lượng là ; thay
đổi một lượng nhỏ mômen động lượng nó
vuông góc với .
Điều này có nghĩa là trục bánh đà của con quay
hồi chuyển được quay đảo qua một góc nhỏ d cho
bởi d = | |. Tốc độ tại trục c/đ d/dt, thì
được gọi là tốc độ góc thay đổi góc quay; có nghĩa
là đại lượng này bằng Ω,
Ta tìm được:




(10.36)

Tốc độ góc thay đổi góc quay thì tỷ lệ nghịch với tốc độ góc quay quanh trục