Mẫu giọt và mẫu khí Fermi

NHÓM 3:
Đỗ Duy An
Nông Tấn Lập
Nguyễn Duy Bình
Dương Quốc Thanh
Trần Nguyễn Mộng Tuyền
Chủ đề:
MẪU GIỌT VÀ MẪU KHÍ CỦA FERMI
SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT NHÂN
MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
MẪU KHÍ CỦA FERMI
1
2
3
NỘI DUNG:
PHẦN 1:
SỰ CẦN THIẾT CỦA CÁC MẪU HẠT NHÂN

I. LÝ DO XUẤT HIỆN CÁC MẪU HẠT NHÂN
Vấn đề liên quan đến lý thuyết hạt nhân có thể phân thành hai loại là cấu trúc hạt nhân và phản ứng hạt nhân.
Khi xây dựng lý thuyết hạt nhân ta vấp phải 3 khó khăn chính là:
+ Không biết chính xác về lực tương tác giữa các nucleon trong hạt nhân.
+ Số lượng các phương trình miêu tả sự chuyển động của các nucleon trong hạt nhân rất lớn.
+ Không thể quan niệm hạt nhân như một môi trường vĩ mô liên tục.
PHẦN 1
I
Mẫu hạt nhân cần giải thích được các tính chất cơ bản của các trạng thái hạt nhân như spin, độ chẵn lẻ, momen từ, momen từ cực điện, các tính chất của các trạng thái kích thích…
Trước tiên là phổ kích thích của hạt nhân và các tính chất động lực học của hạt nhân như xác suất phóng gamma của các mức kích thích của hạt nhân.
Mỗi mẫu hạt nhân chỉ giải thích được một số tính chất của hạt nhân, do đó có nhiều mẫu hạt nhân khác nhau.
PHẦN 1
II. PHÂN LOẠI CÁC MẪU HẠT NHÂN
Cơ sở để xây dựng mẫu hạt nhân là giả thuyết về sự độc lập của một tập hợp nào đó các bậc tự do của hạt nhân.
Các bậc tự do của hạt nhân được chia làm hai loại là : bậc tự do một hạt mô tả sự chuyển động của các hạt riêng biệt và bậc tự do tập thể mô tả sự chuyển động của một số lớn hạt.
Một cách tương ứng, mẫu hạt nhân cũng được phân thành hai loại là mẫu tập thể và mẫu một hạt, ngoài ra còn có mẫu suy rộng, là tổng hợp hai mẫu nói trên.
PHẦN I
II
1. Mẫu tập thể
Mẫu tập thể là mẫu dựa trên các bậc tự do tập thể của nhiều hạt và còn được gọi là mẫu tương tác mạnh giữa các hạt.
Mẫu thể hiện các hiệu ứng tập thể trong hạt nhân khi quãng đường tự do của các hạt trong hạt nhân rất bé so với kích thước hạt nhân. Và mẫu coi hạt nhân như một giọt chất lỏng hay một vật rắn.
Mẫu tập thể gồm mẫu giọt chất lỏng và mẫu hạt nhân không có dạng hình cầu.
PHẦN I
II
2. Mẫu một hạt
Mẫu một hạt dựa trên các bậc tự do của một hạt và được gọi là mẫu các hạt độc lập.
Trong mẫu này, quãng đường tự do của các hạt lớn hơn kích thước hạt nhân, tức là một hạt chuyển động độc lập trong một thế năng trung bình nào đó.
Mẫu một hạt gồm mẫu vỏ không có tương tác dư và mẫu vỏ có tính đến hiệu ứng cặp.
PHẦN 1
II
3. Mẫu suy rộng
Mẫu suy rộng tính đến các tính chất chuyển động độc lập lẫn tính chất chuyển động tập thể của các hạt trong hạt nhân. Mẫu này gồm mẫu suy rộng với liên kết yếu và mẫu suy rộng với liên kết mạnh.
Hai giả thiết cơ bản của mẫu suy rộng là:
+ Dạng cân bằng của hạt nhân ở xa các số magic là dạng elipxoit tròn xoay.
+ Chuyển động tập thể trong đó có chuyển động dao động và chuyển động quay không phá hoại dạng của hố thế hạt nhân.
PHẦN 1
III. SƠ ĐỒ TỔNG QUÁT MÔ TẢ CẤU TRÚC HẠT NHÂN




Hình 1: Sơ đồ tổng quát mô tả cấu trúc hạt nhân
I. KHÁI NIỆM MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
Mẫu giọt chất lỏng là mẫu điển hình nhất của các mẫu tương tác mạnh (mẫu tập thể). Trong mẫu giọt chất lỏng, các nucleon được xem là tương tác mạnh với nhau giống như các phân tử trong một giọt chất lỏng.
Một nucleon đã cho thường xuyên va chạm với các nucleon khác ở bên trong hạt nhân, quãng đường tự do trung bình của nó nhỏ hơn nhiều so với bán kính hạt nhân.
PHẦN 2:
MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
Mẫu giọt giả thiết rằng các nucleon va chạm thường xuyên với nhau và hạt nhân phức hợp có thời gian sống dài trong các phản ứng hạt nhân.
Mẫu giọt cho phép chúng ta thiết lập được sự tương quan của nhiều sự kiện về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân; nó rất tiện ích trong việc giải thích sự phân hạch và các phản ứng hạt nhân.
PHẦN 2
I
PHẦN 2
I
Theo mẫu, hạt nhân là một giọt chất lỏng hình cầu mang điện và không nén được. Các phần tử tạo nên chất hạt nhân là các nucleon chỉ tương tác với những nucleon bên cạnh.
Những chuyển động riêng lẻ của từng nucleon không gây các tính chất của nhân. Chỉ có những tương tác mạnh của các nucleon mới tạo nên các tính chất của hạt nhân.
Trong tất cả các mẫu hạt nhân, mẫu giọt là mẫu đơn giản nhất (do N.Bohr – 1936). Tuy đơn giản nhưng mẫu giọt được ứng dụng hiệu quả trong việc giải thích nhiều tính chất của hạt nhân và phản ứng hạt nhân.
PHẦN 2
II. CƠ SỞ XÂY DỰNG MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
1. Tính không chịu nén của hạt nhân và giọt chất lỏng
Mật độ hạt nhân không phụ thuộc số khối lượng A, tức là không phụ thuộc vào kích thước hạt nhân, và bằng cỡ 1014 g/cm3. Giọt chất lỏng tuy có mật độ bé hơn nhưng cũng không phụ thuộc vào kích thước của nó. Đó là tính không chịu nén của hạt nhân và giọt chất lỏng.
Mật độ hạt nhân là một hằng số, không đổi với mọi hạt nhân.
PHẦN 2
II
Đối với chất lỏng thì mật độ cũng không phụ thuộc vào kích thước của nó (tính không thể nén được của chất lỏng).
PHẦN 2
II
2.Tính bão hòa của các lực tương tác
Năng lượng liên kết trung bình một nucleon có giá trị7,6 MeV (khoảng từ 7,4 MeV đến 8,6 MeV).
Điều đó cho thấy một nucleon trong hạt nhân không tương tác với tất cả các nucleon còn lại mà chỉ tương tác với một số hữu hạn các nucleon ở gần nó.
Hiện tượng này xuất phát từ tính bão hòa của lực hạt nhân. Giọt chất lỏng cũng có tính chất tương tự.
PHẦN 2
II
Hình 2: Các nucleon chứa bên trong hạt nhân.
Mẫu giọt chất lỏng coi hạt nhân là một giọt chất lỏng mang điện tích và không nén được. Các phần tử tạo nên hạt nhân là các nucleon, chúng tương tác với các nucleon bên cạnh.
NLLK của hạt nhân: năng lượng thể tích, năng lượng bề mặt và năng lượng Coulomb. (tương ứng với 3 số hạng đầu trong công thức bán thực nghiệm Weizsacke)
Phạm vi ứng dụng của mẫu giọt chất lỏng: miêu tả NLLK trung bình của hạt nhân là hàm của A và Z, khảo sát các dao động bề mặt của các hạt nhân hình cầu và giải thích định tính quá trình phân hạch hạt nhân.
PHẦN 2
II
III. ỨNG DỤNG CỦA MẪU GIỌT CHẤT LỎNG
1. Mô tả năng lượng liên kết của hạt nhân
Công thức bán thực nghiệm Weizsacker:




Ba số hạng đầu của công thức (1) có thể được giải thích trên cơ sở mẫu giọt chất lỏng.
PHẦN 2
2. Tính khối lượng của hạt nhân
Từ công thức năng lượng liên kết (1) có thể nhận được khối lượng hạt nhân như sau:




Công thức bán thực nghiệm (2) cho phép tính bất cứ khối lượng của hạt nhân nào với A, Z, mp và mn cho trước với sai số tương đối không vượt quá 10-4.
PHẦN 2
III
Công thức (2) biểu diễn sự phụ thuộc khối lượng hạt nhân vào điện tích Z và số khối lượng A.
PHẦN 2
III
Hình 3: Các hạt đồng khối với A lẻ. Các hạt nhân phân rã và để chuyển về hạt nhân bền nhất có khối lượng bé nhất ứng với điện tích Zo.
Trong công thức bán thực nghiệm thì số hạng hiệu chính trong năng lượng liên kết là:
PHẦN 2
III
Với A lẻ thì = 0 theo công thức (1) nên M(Z) là hàm đơn trị theo Z, do đó đối với mỗi giá trị A chỉ có một giá trị Zo tương ứng với hạt nhân đồng khối bền.
Với A chẵn, khối lượng M(Z) là hàm lưỡng trị vì số hạng trong công thức (1) nhận hai giá trị khác nhau đối với các hạt nhân chẵn-chẵn và lẻ - lẻ.








a) b)
Hình 4 : Các hạt nhân đồng khối với A chẵn.
PHẦN 2
III
3. Khảo sát các dao động bề mặt của hạt nhân hình cầu
Ta hãy xem xét sự kích thích các bậc tự do khả dĩ của giọt chất lỏng hạt nhân.
Trong trạng thái tự do, nghĩa là không bị kích thích, giọt chất lỏng có dạng hình cầu. Ở trạng thái kích thích, giọt chất lỏng không bị nén nhưng có thể thay đổi dạng hình học, do đó các bậc tự do bị kích thích sẽ tương ứng với các dao động bề mặt.
PHẦN 2
III
Hình 5 : Giọt chất lỏng có dạng hình cầu (hình a). Dao động tứ cực (hình b) và dao động bát cực (hình c) của giọt chất lỏng.
PHẦN 2
III
Lý thuyết phi lượng tử của các dao động bé bề mặt của giọt chất lỏng tự do đã phát triển trước khi có lý thuyết lượng tử.
Theo lý thuyết này thì tần số thấp nhất ứng với các dao động riêng tứ cực, khi đó giọt chất lỏng có dạng hình ellipsoid căng hay dẹt (hình 5b). Tần số cao hơn ứng với các dao động bát cực, khi đó giọt chất lỏng có dạng hình quả lê (hình 5c).
Các dao động riêng khác tương ứng với các biến dạng phức tạp hơn và có tần số cao hơn. Khi chuyển sang lí thuyết lượng tử thì các dao động riêng của hạt nhân được lượng tử hóa.
PHẦN 2
III
Việc lượng tử hóa không làm thay đổi các tần số riêng nhưng các phổ năng lượng và momen động lượng của các trạng thái dao động kích thích trở thành gián đoạn. Khi đó các năng lượng dao động tứ cực và bát cực nhận các giá trị sau:

; (3)

Trong đó: nquad và noct là số các lượng tử tứ cực và bát cực, đồng thời nquad, noct = 1, 2, . . .
PHẦN 2
III
PHẦN 2
III
Mỗi lượng tử tứ cực có spin J = 2 và độ chẵn lẻ dương, còn mỗi lượng tử bát cực có spin J = 3 và độ chẵn lẻ âm.
Sử dụng công thức Weizsacker (1) có thể tính được năng lượng của lượng tử tứ cực bằng:


Lượng tử bát cực có năng lượng cỡ hai lần năng lượng lượng tử tứ cực với cùng một giá trị A. Các công thức (3) và (4) phù hợp với thực nghiệm đối với các mức thấp nhất khi nquad = 1, 2 và noct = 1.
PHẦN 2
III
Nếu mức cơ bản có đặc trưng 0+ thì mức kích thích thứ nhất là mức 2+ có năng lượng tính theo công thức (4).
Mức 3 tiếp theo sẽ có năng lượng gấp đôi. Gần mức 3 là ba mức nằm rất gần nhau tương ứng với trạng thái kích thích của hai lượng tử tứ cực với các đặc trưng 0+, 2+ và 4+.
Chú ý rằng khi cộng hai vector với ta được vector tổng cộng với các độ lớn 0, 1, 2, 3, 4, nhưng các trạng thái 1+ và 3+ bị cấm do các lượng tử kích thích (3) tuân theo thống kê Bose.
PHẦN 2
III
Tiên đoán về việc mức kích thích đầu tiên có đặc trưng 2+ được thực hiện hầu như đối với tất cả các hạt nhân chẵn-chẵn.
Tuy nhiên năng lượng của mức này thấp hơn giá trị tính theo công thức (4). Chẳng hạn mức 2+ đối với hạt nhân 28Ni60 có năng lượng 1,3 MeV trong khi tính toán cho năng lượng 3 MeV.
Ở rất nhiều hạt nhân chẵn - chẳn cũng thấy có bộ ba 0+, 2+ và 4+ nằm ở mức năng lượng cao hơn hai lần so với mức kích thích đầu tiên (hình 2.4). Và cuối cùng hầu như ở tất cả các hạt nhân chẵn -chẵn đều có mức 3- được giải thích do kích thích bát cực.
PHẦN 2
III
Trong mẫu giọt chất lỏng còn có bậc tự do riêng do dao động của toàn bộ khối lượng các neutron đối với toàn bộ khối lượng các proton. Với giả thuyết này ta coi hạt nhân gồm hai giọt chất lỏng neutron và proton trộn với nhau.
Khi kích thích bậc tự do này, hạt nhân trở thành một tứ cực điện, nghĩa là bị phân cực. Kích thích phân cực ứng với sự thay đổi cấu trúc bên trong hạt nhân. Do đó năng lượng kích thích khá lớn, cỡ 15 - 20 MeV đối với các hạt nhân nặng và 20 - 25 MeV đối với các hạt nhân nhẹ.
PHẦN 2
III
4. Giải thích định tính quá trình phân hạch hạt nhân
Ngay sau khi phát hiện ra hiện tượng phân hạch, Niels Bohr và John Wheeler đã phát triển thành mẫu giọt hạt nhân, dựa trên sự tương tự giữa hạt nhân và một giọt chất lỏng tích điện để giải thích những đặc điểm chủ yếu của quá trình phân hạch.


Hình 6 : Cơ chế phân hạch
IV. HẠN CHẾ CỦA MẨU GIỌT CHẤT LỎNG
Không giải thích đầy đủ các số hạng trong công thức bán thực nghiệm về khối lượng và năng lượng liên kết của hạt nhân, không cung cấp được các số liệu định lượng về các trạng thái kích thích của hạt nhân…
Một loạt các vấn đề chưa đề cập đến: các đặc trưng cá biệt của các trạng thái cơ bản và kích thích của hạt nhân (năng lượng liên kết, spin, moment từ…)
Hạn chế trong việc mô tả tính chất của hạt nhân có liên quan đến vai trò của nucleon và sự biến thiên tuần hoàn của chúng.
Số phổ kích thích ít, không tính đến các tính chất riêng biệt của từng hạt nhân cũng như không thể giải thích các momen từ cực của các trạng thái kích thích đầu tiên.
PHẦN 2
PHẦN 3: MẪU KHÍ CỦA FERMI
I. LÍ DO ĐƯA RA MẪU KHÍ FERMI
Một phạm vi gần đúng nhất định thì NLLK riêng và mật độ hạt nhân có số khối A là độc lập.
Tính chất của KLT: các phân tử khí bên trong chất khí lý tưởng có quãng đường tự do trung bình rất lớn, điều này có thể xem như các phân tử khí lý tưởng không tương tác với nhau.
Giả thiết rằng: các nucleon chuyển động một cách tự do bên trong hạt nhân, từ mọi phía mật độ của nucleon là như nhau. Do đó ảnh hưởng của các lực với các hướng khác nhau gây ra bởi các nucleon bên cạnh triệt tiêu lẫn nhau. Điều này có nghĩa là lực trung bình tác động bởi một nucleon đang chuyển động bên trong hạt nhân là bằng không.
PHẦN 3
II. NỘI DUNG MẪU KHÍ FERMI
Trong mẫu khí Fermi, các proton và các neutron- gọi chung là các nucleon được thừa nhận là hai hệ độc lập nhau, mỗi hệ di chuyển tự do bên trong thể tích của hạt nhân theo nguyên lý loại trừ Pauli.








Hình 7 : Hố thế của proton và nơtron trong hạt nhân.
PHẦN 3
II
* Tính toán độ sâu của hố thế
Các mức năng lượng được chiếm đầy từ đáy của giếng thế. Mức năng lượng cao nhất được chiếm đầy được gọi là mức năng lượng Fermi EF và có động lượng là:


M là khối lượng của nucleon
Trong phạm vi thể tích V, số trạng thái có động lượng từ p → p+ dp được cho bởi mật độ yếu tố trạng thái.
Ta có thể tính số trạng thái hạt khả dĩ xuất phát từ một quan sát không gian pha (yếu tố nhỏ nhất của không gian pha).
PHẦN 3
II
Ta có:

VK: thể tích hạt nhân.
Vp: thể tích không gian xung lượng.
Đối với hạt nằm trong yếu tố thể tích dVK có xung lượng nằm trong khoảng p → p + dp thì dVp được tính theo công thức:


Thể tích không gian pha:

PHẦN 3
II
Mật độ yếu tố trạng thái:




Mỗi trạng thái năng lượng có thể chứa hai Fermion cùng loại ( với ):


và





PHẦN 3
II
Các neutron và proton tương ứng với thể tích hạt nhân:


Ta có thể tính được xung lượng pF và chú ý rằng :
 


Ta có:

và
PHẦN 3
II
Ta cũng có:

và

Nếu đặt: và r0= 1,4fm thì ta nhận được năng lượng cực đại của nucleon trong hạt nhân:

MeV, Mev.


Đối với các hạt nhân nhẹ có thì EF= 24 MeV.
PHẦN 3
II
Đối với các hạt nhân nặng, tỉ số trên là: và

. Từ đây ta sẽ tính được các mức năng lượng

Fermi tương ứng là: và

Độ sâu của hố thế được tính bằng tổng năng lượng Fermi tương ứng của từng loại nucleon và năng lượng tách của các nucleon, nghĩa là:

và
PHẦN 3
II
Năng lượng tách nucleon vào khoảng 8 MeV, ta tính được:

và


Nhận xét: Chiều sâu hố thế của neutron sâu hơn hố thế của proton. Điều này góp phần giải thích ở các hạt nhân nặng thì số neutron nhiều hơn số proton.
PHẦN 3
III. ỨNG DỤNG CỦA MẪU KHÍ FERMI
Động năng (T)
1.1 Động năng của các nucleon khi chưa kể đến năng lượng bề mặt
Giả thiết rằng các nucleon chuyển động một cách tự do trong hạt nhân. Như vậy gần đúng thì từ mọi phía, mật độ các nucleon gần như bằng nhau. Ảnh hưởng của các lực với các hướng khác gây ra bởi các nucleon bên cạnh triệt tiêu lẫn nhau.
Ở đây chúng ta chưa đề cập tới các nucleon chuyển động gần bề mặt hạt nhân. Với sự nghiên cứu gần đúng, ta bỏ qua ảnh hưởng của các nucleon chuyển động gần bề mặt của hạt nhân.
PHẦN 3
III
* Hàm sóng mô tả trạng thái của các nucleon
Mẫu khí mô tả các nucleon bằng hàm sóng riêng đặc trưng cho chuyển động tự do của nó, tức là bằng hàm exp(i ).
Các hàm số đặc trưng cho trạng thái spin: α(s) nucleon có hướng lên trên và β(s) ứng với các nucleon có hướng xuống dưới.
Hàm số trạng thái toàn phần của một nucleon sẽ có dạng:

hoặc
PHẦN 3
III
Đối với neutron cũng như đối với proton hoặc đối với các hạt Fermi, theo nguyên lí Pauli, chúng ta thấy ở trong hạt nhân hai hạt (hoặc proton hoặc neutron) cùng loại không có cùng một trạng thái, như vậy rõ ràng phần phụ thuộc vào spin của trạng thái sẽ có giá trị ngược nhau.
Thí dụ:
đối với neutron:

đối với proton:
PHẦN 3
III
Lập giá trị :
Công thức tính động năng là:

Giải bài toán hàm riêng- trị riêng như sau:



Trong đó: là hàm riêng và E là trị riêng của

Đặt , ta có:
PHẦN 3
III
Nghiệm có dạng:

Từ điều kiện đơn giá , ta có:


Vậy:
với


Vậy ta có trị riêng của nó là , nếu ta lấy hàm số trạng thái phụ thuộc vào tọa độ là hàm sóng phẳng.
PHẦN 3
III
Ta có thể biểu thị dưới dạng bằng cách phân tích như sau:




trong đó: là vector có ba thành phần là l, m, n và nhận các giá trị

Ta lại có công thức tính xác suất:
PHẦN 3
III
=
PHẦN 3
III
Theo cơ lượng tử: Nếu tích phân của theo tất cả các giá trị khả dĩ của tọa độ hội tụ:

thì ta có thể chọn hàm sóng mới sai khác hàm sóng cũ bằng một hằng số:

sao cho đẳng thức sau thỏa mãn:


Vậy, ta chọn hàm sóng là:
PHẦN 3
III
Hàm sóng trên là hàm sóng đã được chuẩn hóa trên toàn thể tích L3, tức là:




Nếu chúng ta lấy hình cầu bán kính để chứa tất cả các tọa độ của các nucleon chuyển động trong hạt nhân thì thể tích của quả cầu đó là:
PHẦN 3
III
Với hàm sóng đã được mô tả ở trên, thì trong mỗi một ô lập phương có cạnh là L ở trong quả cầu có yếu tố thể tích L3 sẽ có xác suất tìm thấy hạt bằng 1.
Tương tự như vậy, trong một thể tích hạt nhân là v, chắc chắn chúng ta cũng sẽ tìm thấy một xác suất nucleon nhất định. Vậy, nếu ta chọn L3 = v và ta có:


sẽ thỏa mãn của các nucleon.
PHẦN 3
III
* Số trạng thái nucleon nằm trong vùng (k, k+dk)
Ta gọi là số trạng thái với hàm số sóng trên và hàm số spin lấy cả về 2 phía trong toàn bộ thể tích v thì nó có dạng sau :


Vậy số trạng thái proton hay neutron nằm trong vùng (k,k+dk) sẽ là:
PHẦN 3
III
Chứng minh:
PHẦN 3
III
Ở trạng thái cơ bản của hạt nhân, theo nguyên lí Pauli thì tất cả các nucleon đều cho phép ở trạng thái có năng lượng thấp nhất tức là có số neutron hay proton có k=0 cho tới k bằng một giá trị cực đại nào đó hay , chúng nó chiếm giữ ở trạng thái thực.
Ngược lại các trạng thái có số sóng
là những trạng thái trống, rõ ràng ở trong trường hợp của vector thì là một bán kính hình cầu của các neutron và là một bán kính hình cầu của các proton.
PHẦN 3
III
Đó chính là hình cầu Fermi, và từ đó có khái niệm về “khí nucleon” và như vậy theo Fermi thì số proton hay là neutron được biểu thị bằng các công thức sau :
PHẦN 3
III
* Động năng của các nucleon trong hạt nhân
Từ các kết quả này chúng ta có khả năng tính được động năng toàn phần của neutron cũng như là của proton mà ta kí hiệu là TN và TP.
Ta hãy nhân động năng của một nucleon với số trạng thái theo công thức (a) , (b) và lấy tích phân theo tất cả các trạng thái của nucleon , có nghĩa là:
PHẦN 3
III
Chứng minh : TN và TP
PHẦN 3
III
Chứng minh tương tự với TP.
* Gọi là động năng toàn phần của
nucleon trong hạt nhân.
Khi số neutron nhiều hơn số proton có trong hạt nhân tức là (N-Z)/A << 1, ta có:

Hay
và ở đây khai triển đến bậc hai, trong công thức thì
là mật độ nucleon chứa trong hạt nhân .
PHẦN 3
III
Chứng minh:







Đặt
 
Ở đây khai triển chuỗi nhị thức đến bậc hai:
PHẦN 3
III
Vậy:
PHẦN 3
III
- Trường hợp hạt nhân đối xứng
Khi hạt nhân đối xứng thì động năng toàn phần gồm tức là:


trong đó :
là phần động năng của hạt nhân đối xứng, tức là ở trong hạt nhân này, ta có A = 2N = 2Z và là số sóng cực đại của proton hoặc của neutron.
PHẦN 3
III
- Trường hợp hạt nhân bất đối xứng
Nếu trong hạt nhân thì cùng với (là động năng của hạt nhân) ta có thêm:


Ta có là phần năng lượng tạo nên bởi sự bất đối xứng.
Như vậy, động năng toàn phần là:
PHẦN 3
III
1.2 Động năng của các nucleon khi tính đến năng lượng bề mặt
* Hàm sóng mô tả trạng thái các nucleon
Khi kể đến năng lượng bề mặt, chúng ta giả sử khí nucleon này được giữ trong một hình hộp có các thành hộp không thể cho các nucleon xuyên qua, nghĩa là các nucleon đó đập vào thành hình hộp và quay trở lại.
Do đó, xác suất tồn tại các hạt ở gần tường hình hộp bằng 0 và cũng từ đó hàm sóng của các nucleon ở vùng này cũng phải bỏ qua. Hàm sóng xác định trạng thái của các nucleon ở vùng này không thể dùng hàm sóng phẳng được nữa.
PHẦN 3
III
Theo cơ học lượng tử, trong trường hợp đó, ta có hàm sóng xác định trạng thái là:



Trong đó: k1 = π. l/L; k2 = π.m/L; k3 = π.n/L
với l, m, n = 1, 2, 3,...
Hình 8: Tọa độ theo 3 chiều của ô lập phương có cạnh là L ở trong quả cầu chứa khí nucleon.
PHẦN 3
III
Chứng minh :

Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế có dạng:


Đặt và phương trình Schrodinger sau đó chia cả hai vế cho , ta được:
PHẦN 3
III
Suy ra:





Hay: Dùng các điều kiện biên:


PHẦN 3
III
Và thực hiện chuẩn hóa hàm sóng, ta tìm được:







Vậy:

PHẦN 3
III
* Số trạng thái nucleon nằm trong vùng (k, k+dk)










Hình 9: Quả cầu chứa khí nucleon có bán kính KL/ π.
Ta đã biết: với k1=π.l/L; k2= π.m/L; k3= π.n/L
Bình phương hai vế của (1), ta có:




Từ đó, ta thấy quả cầu có bán kính là KL/ π sẽ có thể chia thành 8 quả cầu với các giá trị l, m, n > 0 và ta có thể tích của từng quả cầu nhỏ là:
PHẦN 3
III
Tại các gốc, với l = 0, m = 0, n = 0 thì hàm sóng cũng bằng không.
Quả cầu chứa khí nucleon với bán kính KL/π phải trừ bớt đi 3 mảnh hình cầu có bán kính là KL/π chứa điểm tọa độ l = 0, m = 0, n = 0; ta có 3(KL/π)2π.
Hình 10:
PHẦN 3
III
Tóm lại, trong trường hợp k ≤ K công thức thể tích quả cầu nhỏ bây giờ chỉ còn là:



Ở đây v = L3 là thể tích hình hộp chứa khí nucleon, và f = 6L2 là diện tích toàn phần. Tất nhiên đối với những neutron hoặc những photon thì sự phân bố spin của nó đều theo 2 phía.
Do đó, số hàm số trạng thái trong trường hợp này được mô tả bằng công thức trên, ta phải lấy cả 2 phía, ta có:



Vậy, số trạng thái rơi vào giữa khoảng (k, k+dk) sẽ là:
PHẦN 3
III
Chứng minh:







Vì nên:

PHẦN 3
III
* Động năng của các nucleon
- Trường hợp hạt nhân đối xứng
Ta có A = 2N = 2Z, thì:


Rõ ràng mật độ nucleon (ρ) có quan hệ với số K. Gọi v’ là thể tích thực chứa các nucleon khí, ta có:


Lúc đó ta có mật độ nucleon ρ=A/v’, nên v’= A/ρ. Ta đã có:
suy ra K3 = 3π2ρ/2 .
PHẦN 3
III
Trong trường hợp này thì động năng toàn phần
T = TN + TP sẽ được tính như sau:
PHẦN 3
III
Chứng minh:
PHẦN 3
III
T

Với T0 là động năng của hạt nhân khi không kể tới năng lượng mặt.
TF là năng lượng mặt của hạt nhân.


- Trường hợp hạt nhân bất đối xứng
Trong hạt nhân không phải là hạt nhân đối xứng tức là N ≠ Z, thì T = T0 + TF + TS với TS là năng lượng không đối xứng đã tính ở trên.
PHẦN 3
III
2. Thế năng (U)
U = U0 + UC + UP
Với : Uo là thế năng tương tác các nucleon.
U­C là năng lượng Coulomb.
UP là năng lượng cặp nucleon.

2.1 Các khả năng phân bố nucleon
Trên cơ sở nghiên cứu về năng lượng liên kết giữa các nucleon,chúng ta thấy lực hạt nhân (đặc trưng cho tương tác giữa các nucleon ) có tính chất bão hòa và nó tỉ lệ với A , không tỉ lệ với A2.Điều này chứng tỏ một nucleon chỉ tương tác với một số nucleon nhất định.
PHẦN 3
III
Trường hợp đơn giản người ta cho rằng thế năng tương tác giữa nucleon là tương tác phụ thuộc vào khoảng cách ngắn trong tọa độ tâm quán tính, tức là phụ thuộc vào và lúc này ta gọi thế năng là thế năng Wigner (lực Wigner) tức là V=Vw (r) 0.
Hình 11: Khả năng phân bố các nucleon trong hạt nhân.
a/ Cặp nucleon cùng loại có spin song song với nhau.
b/ Cặp nuclecon cùng loại có spin đối nhau.
c/ Cặp nucleon khác loại có spin song song với nhau.
d/ Cặp nucleon khác loại có spin đối nhau.
PHẦN 3
III
2.2 Thế năng tương tác của từng cặp nucleon
Về mặt hàm sóng mà nói thì theo nguyên lý Pauli cũng như nguyên lý Dirac thì đối với các hạt cùng loại có spin bằng 1/2 thì các hàm sóng xác định của nó phải là hàm sóng phản đối xứng.
Do đó ta có hàm sóng cho 4 khả năng phân bố cặp nucleon ở trên là:
§ Đối với (a):
PHẦN 3
III
§ Đối với (b):



§ Đối với (c):




§ Đối với (d):
PHẦN 3
III
Gọi là thế năng của từng cặp nucleon với thế năng tương tác là Vw ở trạng thái xác định là ψij(1,2) thì ta có công thức là:

Nếu chúng ta sử dụng tính chất chuẩn hóa và trực giao của các hàm sóng về spin của các nucleon tức là ta có (α,α) = (β,β) = 1 , (α,β)=0. Do đó ta có:
§ Đối với trường hợp a/:
PHẦN 3
III
§ Đối với trường hợp b/,c/,d/:



Nếu lấy hàm sóng trạng thái dạng sóng phẳng và hoặc là tọa độ tương đối thì hệ (1) và (2) có dạng sau:
PHẦN 3
III
Chứng minh:
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa, từ (1) ta có:
PHẦN 3
III
Nếu ta gọi Uo là thế năng toàn phần của lực hạt nhân thì ta sẽ có công thức:

vì là thế năng của từng cặp nucleon.
PHẦN 3
III
2.3 Năng lượng Coulomb
Có một proton nào đó lấy tách ra trong số Z proton thì ta còn lại là Z - 1 proton, và nếu ta cho rằng số proton này sẽ phân bố đều thì ta có mật đô proton trong hạt nhân là:




Trường điện do (Z-1) proton tác dụng lên một proton ở vị trí là :
PHẦN 3
III
PHẦN 3
III
Ta coi mật độ phân bố proton ở trong hạt nhân là phân bố đều, ta có :


Vậy năng lượng tĩnh do điện trường gây nên ở trong hạt nhân là:



Trong tích phân chia cho 2 vì mỗi cặp proton chỉ đóng vai trò trong biểu thức năng lượng này có một lần.
PHẦN 3
III
2.4 Năng lượng cặp
Trong biểu thức năng lượng liên kết chúng ta phải kể tới thành phần năng lượng đặc trưng cho tương tác cặp.
Gọi UP là năng lượng cặp nucleon thì ta có:



Trong đó: δ =1 nếu số N, số Z chẵn
δ= 0 nếu số A lẻ
δ = -1 nếu số N, số Z lẻ
CP là hằng số tương tác cặp nucleon
PHẦN 3
III
3. Kết luận chung
Công thức liên kết bán thực nghiệm Weizsacker:



Ta có công thức năng lượng liên kết:
Elk = TO + TF + TS + UO + UC + UP
Với: TO + TF + TS là tổng động năng toàn phần.
UO + UC + UP là tổng thế năng toàn phần.
Đó chính là các thành phần năng lượng để giữ các nucleon liên kết lại với nhau ở trong hạt nhân.
PHẦN 3
III
Theo các giá trị đã tính toán ở phần trước chúng ta viết lại công thức năng lượng liên kết phụ thuộc vào A, Z dưới dạng sau :




Hay là:

Với:

; ; ;
PHẦN 3
III
Thực ra, trong lí thuyết không tính toán một cách chi tiết được các giá trị của các hằng số C, vì thế tương tác VW của cặp nucleon chưa biết một cách chính xác có dạng gì.
Do đó thường các hằng số sau này người ta xác định bằng thực nghiệm.
CT = 15,75 MeV
CF = 17,80 MeV
CC = 0,710 MeV
CS = 94,80 MeV
CP = 34,00 MeV (CP là hằng số tương tác
cặp nucleon)
THANK YOU