Mặt Mobius và các ứng dụng

Mặt Mobius và dải băng Mobius
(The Mobius Band)

I.- Giới thiệu
Mặt Mobius hay dải Mobius, về toán học là một khái niệm tôpô cơ bản về một mặt chỉ có một phía và một biên. Lúc đầu chỉ như một trò chơi vì xuất xứ từ 1 dải băng giấy ( đo Mobius công bố) trước khi dán nối 2 đầu đã dược lộn/ lật 1 – 2 lần. Về sau các nhà toán học nâng lên thành lý thuyêt, lập công thức tính toán…
Phát triển hơn, khi lý thuyết về dải Mobius được ứng dụng vào thực tế Kiến trúc/ xây dựng…Và điều đáng ngạc nhiên hơn khi dải Mobius còn được ứng dụng vào nghệ thuật Âm nhac ( do Bach ), hội họa ( M.C. Escher) …
Tài liệu này cung cấp một vài tư liệu để các bạn tham khảo
II.- Mặt Mobius trong toán học
2.1/-Lịch sử
Mặt Mobius được đặt theo tên nhà toán học và thiên văn học người Đức August Ferdinand Möbius, mặc dù Johann Benedict Listing đã nghiên cứu nó độc lập từ trước đó ít lâu

AugusFerdinand Möbius


2.2- Cách tạo dải băng và tính chât đăc biêt cua Dải Mobius.


. Một dải Mobius đơn giản được tạo ra bằng cách nối hai đầu của băng giấy hình chữ nhật sau khi đã xoắn băng này một góc 1800 (xem hình 1). Dải vô hướng này (không có mặt trên, mặt dưới) gọi là dải Mobius để ghi nhớ nhà toán học, thiên văn người Đức August Ferdinand Möbius, người dã tìm ra nó vào tháng 9 năm 1858, trong quá trình nghiên cứu các đa diện. Nhưng thật ra người đầu tiên phát hiện ra dải một mặt vô hướng này là Johann Benedict Listing vào tháng bảy năm 1858. Từ bấy, dải Mobius đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: toán học, nghệ thuật, kỹ thuật, khoa học, ảo thuật, âm nhạc và văn hoá dưới hình dạng chính xác hoặc ẩn dụ.
Nếu đem cắt dải băng này theo chiều dọc từ một điểm ở chính giữa dải băng, thì ta sẽ được không phải là hai dải băng khác, mà sẽ chỉ được một dải băng có chiều dài gấp đôi, chiều rộng bằng một nửa dải băng ban đầu, với hai chỗ bị xoắn. Đem cắt dải băng mới này, ta sẽ được hai dải băng nhưng chúng lại bị khóa với nhau từ bên trong. Cắt dải băng Mobius theo tỉ lệ 1/3 theo chiều dọc thì ta cũng sẽ được hai vòng to nhỏ lồng vào nhau.
2.3/-Các mặt Mobius tổng quát nâng cao






2.4-Công thức toán học


A parametric plot of a Möbius strip

Mặt Mobius chính tắc có thể được cho bởi công thức:






trong đó 0 ≤ u < 2π và −1 ≤ v ≤ 1. Công thức này cho ta dải Mobius với chiều rộng 1 đơn vị, vòng có bán kính 1 nằm trong mặt phẳng tọa độ xy với tâm tại gốc hệ tọa độ (0, 0, 0). Biến u thay đổi vòng quanh dải mobius trong khi v thay đổi chạy vòng quanh biên.

II.- Kiến trúc Mobius và dải băng Mobius

Các thuộc tính của Dải mobius một mặt, có thể ứng dụng cho kiến trúc.
Trước hết, khảo sát dạng toán học của dải mobius, tiếp theo là mở rộng nó qua khối Mobius và cuối cùng là chuyển những đặc tính này thành các thực thể kiến trúc.
3.1 – Nghiên cứu lý thuyết  Chúng ta có thể bắt đầu khảo sát những hình khối bề mặt tân tiến hơn dựa trên những mô tả thuần tuý toán học. Ví dụ, hãy tưởng tượng một bề mặt hay không gian được kiến tạo theo dạng xoắn liên tục. Điều đó có thể tạo ra một dạng hình học khá nghịch lý tương tự như từng thấy với dải Mobius (The Mobius Band).

  Hình 2: Nghệ thuật Moibius: (a) “Dải ruy băng vô tận” của Max Bill và          (b) “Xoắn ốc mobius” của Tom Longtin
         Dải Mobius là ví dụ về loại dải chỉ có một mặt cong đơn, đóng, liên tục và một mối xoắn.    Sự tiến hoá của dải Mobius dưới hình thức nghệ thuật lần đầu tiên được thể hiện trong tác phẩm “Dải ruy băng vô tận”, hình 2a, một tác phẩm điêu khắc đá của Mã Bill [2] năm 1935. M.C.Escher [3] lại sử dụng tính Moibius như là một vật thể nghịch lý được sơn ở những phần mặt biến đổi, tác phẩm nổi tiếng nhất có tên “dải Moibius II” với 9 con kiến đỏ trông như đang mãi mãi bò đi.
    Nhiều nghệ sĩ khác cũng đi tìm cảm hứng nghệ thuật dưới dạng Moibus, chẳng hạn, Brent Collins, Helaman Ferguson , Cliff Long Charles Perry , John