Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ

Kiểm tra bài cũ
Mặt cầu S( O’; R’) đi qua
mọi đỉnh của lăng trụ
A1A2 A3 A4 .A’1 A’2 A’3 A’4
Câu 1: Khi nào một đường tròn được gọi là ngoại tiếp 1 đa giác ?
Trả lời: Khi đường tròn đi qua mọi đỉnh của đa giác
Câu 2: Quan sát hình vẽ:
Các đỉnh của hình lăng trụ có vị trí như thế nào với mặt cầu S(O’;R’) ?

* Đường tròn (O) đi qua mọi đỉnh của đa giác.Ta nói (O) ngọai tiếp đa giác.
Tương tự: S( O; R ) đi
qua mọi đỉnh của
hình chóp S.A1A2 A3 A4

a. Mặt cầu S(O,R) ngọai tiếp hình chóp S.A1A2A3A4
b. Mặt cầu S’(O’,R’) ngọai tiếp hình lăng trụ A1A2A3A4.A’1A’2A’3A’4
§3. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP
HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ
Phát biểu định nghĩa mặt cầu ngọai tiếp hình chóp
(hoặc hình lăng trụ) ?
1. Định nghĩa:
Một mặt cầu gọi là ngọai tiếp một hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc hình lăng trụ đó).
S
O
A3
A4
A2
A1
∆
A3
A1
A4
A’4
A2
A’1
A’2
A’3
O’
1. Định nghĩa:
Một mặt cầu gọi là ngọai tiếp một hình chóp (hoặc hình lăng trụ) nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp đó (hoặc hình lăng trụ đó).
Câu hỏi củng cố:
Mệnh đề sau đúng hay sai, tại sao?
“ Một mặt cầu S( O;R ) gọi là ngọai tiếp một hình chóp (hình lăng trụ) nếu :
a. Nó đi qua mọi điểm của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) đó”.
b. Nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) đó”.
c. Khỏang cách từ O đến 3 đỉnh của hình chóp (hoặc hình lăng trụ) bằng nhau và bằng R”.
S
S
Đ
§3. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ
§3. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ
A3
A1
A4
A2
A’1
A’4
A’2
A’3
O’
Với trường hợp a,
ta có: OS = OA1 = OA2
=OA3 = OA4 = R
Với trường hợp b, ta có:
O’A1 = O’A2 = O’A3 = O’A4 = O’A’1 = O’A’2 = O’A’3 = O’A’4 = R’
b.
§3. MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ
2. Các ví dụ:
a. Ví dụ 1:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc α .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp.
? Tóm tắt yêu cầu bài tóan
Các bước vẽ một hình chóp đều ?
a
Bài giải:
(*) Xác định tâm mặt cầu:
OS = OA = OB = OC
 O thuộc trục của ∆ABC
( O SI )
(2)  O thuộc mặt phẳng trung trực (P) củaSA ((P) chứa mọi đường trung trực của SA)
Vậy O là giao điểm của SI và một đường trung trực của SA.
Gọi I là tâm của ∆ABC  SI ⊥(ABC)
( Do hình chóp SABC đều ) SI là trục của ∆ABC.
Trong (SAI): Gọi N là trung điểm của SA.
Đường trung trực d của SA cắt SI tại O.
Ta có:
Vậy mặt cầu S(O;R) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A
C
B
S
M
I
α
O
N
Gọi O là tâm của mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S.ABC.
? O phải thỏa mãn điều kiện gì ?
? Với điều kiện (2): O phải thuộc mặt phẳng nào của đọan thẳng SA?
? Với đ iều kiện (1): O phải thuộc đường thẳng nào của ∆ABC?
C
B
A
O
N
(*) Tính bán kính R = OS:
? Có thể tính OS dựa vào các tam giác đồng dạng nào ?
*⊿SNO ∽ ⊿SIA
*Mặt khác:
+ Do ∆ABC đều cạnh a
+⊿SMI có: SI = IM.tg α
<= IM = ?AI = ? <=
Dựa vào ∆ đều ABC
+ ⊿ SAI có: SA2 = SI2 + AI2
Vậy:
SI = ?
? Tính SA= ? R= ?
? Hãy tổng quát Các bước xác định
tâm, bán kính mặt cầu
ngọai tiếp một hình chóp?

+ Xác định tâm I của đáy.
(Nếu có)
+Xác định trục ∆ của đa giác đáy
+Xác định giao điểm của ∆ với
trung trực của 1 cạnh bên của hình chóp
∆
O
b. Ví dụ 2 : Cho tứ diện SABC
có SA, SB, SC đôi một vuông
góc với nhau
và có độ dài lần lượt là a,b, c.
Hãy xác định tâm, bán kính
mặt cầu ngọai tiếp tứ diện.
? Tóm tắt yêu cầu bài tóan ?
? vẽ hình ?
A
C
M
B
I
O
S
? Tâm I của ⊿ SAC
Nằm ở vị trí nào ?
? Trục ∆ của tam giác
SAC phải song song
với đường thẳng nào?
Vì sao?
∆
? Cần xác định trung trực
của cạnh bên nào?
? Trong mặt phẳng (SA;∆ ):
Đường trung trực của SA phải
song song với đường thẳng nào?
a
c
b
Bài giải:
b. Ví dụ 2:
* Xác định tâm mặt cầu:
+ Gọi I là trung điểm của AC
 I là tâm ⊿ SAC.
+ Kẻ đường thẳng ∆ đi qua I, ∆ ∥ SB
 ∆ ⊥ (SAC) ∆ là trục của ⊿ SAC
Trong mặt phẳng (SB, ∆ ): Đường trung trực Mx của SA song song
với SI cắt ∆ tại O.
 OB =OS = OA = OC = R.
Vậy O là tâm mặt cầu ngọai tiếp tứ diện SABC.
* Tính bán kính R = OS:
B
? Tính OS có thể dựa vào
tam giác đặc biệt nào?

⊿ SOI có:
SI = ?
OI = ?

S
A
C
M
I
∆
O
a
c
Vậy R =
★ Một hình chóp có mặt cầu ngọai tiếp nếu và chỉ nếu đáy của nó là một đa giác nội tiếp
? Điều kiện cần và đủ để
một hình chóp có mặt
cầu ngọai tiếp là gì?
Với một tứ diện
thì sao?
★ Trường hợp 1: Hình chóp có các cạnh bên đều bằng a
Tóm lại:
Trong ví dụ 1 ta gặp bài tóan : Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp với:
? Cần thực hiện
bài tóan theo các
bước nào ?
+ Xác định tâm I của đáy hình chóp.
+ Xác định trục SI của đáy.( SI = h là đường cao hình chóp.
+ Trong (SAI) :Đường trung trực của SA cắt SI tại O
Mặt cầu ngọai tiếp hình chóp có tâm O, bán kính R
( Đáy hình chóp có thể là ∆ vuông, ∆ đều, ∆ thường
Hình vuông, chữ nhật, tứ giác nội tiếp

Trong ví dụ 2, ta gặp bài tóan : Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp với:
Trường hợp 2: Hình chóp có một cạnh bên SA ⊥ với mặt phẳng đáy, SA = h.
( Đáy là: ∆ vuông, ∆ đều, ∆ thường,
Hình vuông, chữ nhật, tứ giác nội tiếp).
? Các bước
giải bài tóan?
+ Xác định tâm I của đáy.
+ Trục của đáy là đường thẳng ∆ qua I, ∆ ∥ SA.
+Trong (SA;I):Đường trung trực d của SA song song với AI cắt ∆ tại O.
 Mặt cầu ngọai tiếp hình chóp có tâm O,bán kính R.
Bài tập về nhà:
.Học thuộc định nghĩa
.Xem lại 2 ví dụ, bài tóan tổng quát.
.Làm bài tập 1, 2, 3, 4, 5 (112-sách gk)
(HD: Bài tập 1, 3, 4 thuộc dạng tóan 1
Bài tập 2 thuộc dạng tóan 2 )