Lý thuyết và BT hình học Euclid

A.LÝ THUYẾT

Chương 1:

PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ

§1.VÀI NÉT LỊCH SỬ

(.Hình học trước thời Euclid:
Hình học ra đời như một khoa học thực nghiệm về đo đạc ruộng đất, độ dài các đường, đo diện tích các mảnh đất, đo thể tích các thùng chứa… Con người thời cổ đại ở vùng Babilon và Ai Cập đã biết cách tính diện tích tam giác, hình chữ nhật, hình thang, hình tròn, tính thể tích hình hộp chữ nhật, hình chóp…
Từ thế kỉ IV đến thế kỉ III trước công nguyên, các nhà Hình học ở Hy Lạp dần dần đã làm cho môn Hình học trở thành một môn khoa học suy diễn.Hình học không còn là đúng đắn cho một sự kiện hình học nào đó, thay vì kiểm tra bằng thực nghiệm, người ta đã chứng minh nó bằng một chuỗi lập luận hợp lý.
Nhiều tác phẩm hình học đã xuất hiện vào thời kỳ này với những tên tuổi lớn như: Arschimedes, Apollonius, Ptolemee, Pytagore. Tất cả những công trình đó đã được tổng kết lại một cách đầy đủ trong tác phẩm bất hủ của Euclid có tên là “Cơ bản”.
Euclid là nhà hình học xuất sắc của Hy Lạp cổ. Ông dạy học và sống ở Alexandrie vào khảng từ 330 đến năm 275 trước công nguyên.
(Về tác phẩm “Cơ bản” của Euclid:
Tác phẩm “Cơ bản” của Euclid gồm 13 cuốn, bao gồm những kiến thức thuần túy của hình học. Trong 13 cuốn của “Cơ bản” có 8 cuốn dành cho Hình học phẳng và Hình học không gian. Kiến thức trong những cuốn sách này bao gồm toàn bộ nội dung của Hình học sơ cấp, mà một phần của nó được lấy từ các trường Phổ thông hiện nay. Chúng ta thấy trong đó có: các tam giác bằng nhau, các hình đồng dạng, định lý Pitagore, lí thuyết đo diện tích, đường tròn và các tính chất, đa giác đều và cách dựng, diện tích hình tròn, hình cầu, hình trụ, hình nón, về các khối đa diện và đặc biệt là về năm loại khối đa diện đều….
Về phương pháp, chúng ta thấy Euclid đã cố gắn xây dựng môn Hình học bằng cách thức mà ngày nay chúng ta gọi là tiên đề.
Trong cuốn sách đầu tiên, Euclid đã nêu ra 23 địng nghĩa của các khái niệm: điểm, đường, đường thẳng, mặt, mặt phẳng, đường thẳng song song…Chẳng hạn ông đã định nghĩa:
Điểm là cái gì không có thành phần.
Đường là cái gì có bề dài mà không có bề rộng.
Mút của đường là điểm.
Đường thẳng là đường trên đó các điểm được sắp đặt giống nhau….
Sau các định nghĩa, Euclid đã trình bày các định đề và “tiên đề”, là những mệnh đề mà sự đúng đắng của nó được thừa nhận, không chứng minh.
Có năm định đề nói về Hình học. Đó là:
Từ một điểm bất kỳ này đến một điểm bất kỳ khác cò thể vẽ được một đường thẳng.
Một đường thẳng có thể kéo dài mãi cả về hai phía.
Với một điểm bất kỳ làm tâm và với bán kính tùy ý, có thể vẽ được một đường tròn.
Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác nhau tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai vuông thì hai đường thẳng đó cắt nhau về phía có hai góc đó.
Có năm tiên đề, nội dung rộng hơn, dùng cho các suy luận toán học nói chung:
Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau.
Toàn thể lớn hơn bộ phận.
Sau khi đã có các định nghĩa,các định đề và tiên đề, Euclid đã trình bày các định lý và chứng minh các đinh lý đó.Các chứng minh này đều cố gắn dựa vào các định lý đã có trước, hoặc các tiên đề và định đề.
(.Các thiếu sót của bộ “Cơ bản”:
Có thể nói Euclid là người đầu tiên xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề. Nhiều chứng minh của ông rất hay vẫn còn dùng được cho đến ngày nay.Tuy nhiên dưới cái nhìn hiện đại, tập “Cơ bản” còn mắc phải nhũng thiếu xót. Cụ thể là:
Euclid tham vọng định nghĩa tất cả các khái niệm, điều đó là không thể.Mỗi khái niệm đều được định nghĩa dựa vào các khái niệm có trước. Bởi vậy, chúng ta phải xuất phát từ cái không có trước, ngày nay chúng ta gọi các khái niệm như vậy là các khái niệm cơ bản.Các khái niệm đó được hiểu bằng nhiều