Lý thuyết đại số đại cương (tóm lược)

ÁNH XẠ
Aùnh xạ
f: X Y A ( X , B ( Y
x f(x)
f: ánh xạ (
f(A) = (y(Y ( ( a(A : f(a) = y( (ảnh)
f–1(B) = (x(X ( f(x)(B( ( tạo ảnh)
f: đơn ánh (
f: toàn ánh ( (y(Y, ( x(X : f(x) = y
f: song ánh ( (y(Y, (! x(X : f(x) = y
(f–1 ( f: song ánh

QUAN HỆ TRÊN TẬP HỢP
Quan hệ tương đương
(x(X, x ( x (phản xạ)
(x,y(X, x ( y ( y ( x (đối xứng)
(x,y,z(X, x ( y và y ( z ( x ( z (bắc cầu)
Quan hệ thứ tự
(x(X, x ( x (phản xạ)
(x,y(X, x ( y và y ( x ( y = x (phản đối xứng)
(x,y,z(X, x ( y và y ( z ( x ( z (bắc cầu)
Lớp tương đương: C(a) = [a] = (x(X ( a ( x (

NHÓM
(X– nửa nhóm ( (x, y, z ( X: (x.y).z = x.(y.z)
(X– vị nhóm (
(X– nhóm (
(
(
(X– nhóm ebel (
Nhóm con A của nhóm X (A ( X)
(A,+) ổn định ( (x,y ( A ( x + y ( A
A ( X (
Nhóm con sinh bởi A, nhóm con xyclic sinh bởi a
Cho (X– nhóm, A ( (, A ( X. Ta nói nhóm con của X sinh bởi A, k/h (A(, nếu
(Nhóm con sinh bởi A là nhóm con nhỏ nhất chứa A)
Nếu A = (a( thì ta nói nhóm con xyclic của X sinh bởi a, k/h (a(, a đgl phần tử sinh của X.
Nếu ( a(X: (a( = X thì X đgl nhóm xyclic
Nếu (A(X: (A( = X thì A đgl tập sinh của X.
Lớp kề của A trong X
A ( X, (x ( X: lớp kề trái)
(lớp kề phải)
Lưu ý: xA = yA ( x–1y ( A
Nhóm con chuẩn tắc A của nhóm X (A ⊲ X)
A ⊲ X (
(
Lưu ý: Trong 1 nhóm abel, mọi nhóm con đều chuẩn tắc.
Nhóm thương của X trên A
Nếu A ⊲ X thì với xA.yA = xyA đgl nhóm thương của X trên A.
Nhóm xyclic
(X– nhóm xyclic ( (a(X: x = am, (x(X, m(( (a–phần tử sinh)
Cấp của nhóm, phần tử của nhóm
Cấp của nhóm X, kí hiệu là số phần tử của X.
Cấp của
a(X
ĐL Lagrange: (X– nhóm hữu hạn, A ( X (
Lưu ý: Hai ptử sinh bất kì của cùng một nhóm xyclic đều có cùng cấp. Cấp của mọi nhóm xyclic bằng cấp của mọi ptử sinh của nó. Hai nhóm xyclic đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp)
Tâm của nhóm X ( Z(X) )
Z(X) = (a(X ( ax = xa, (x(X(
Lưu ý: X abel ( X = Z(X)
Z(X) là nhóm con abel của X

ĐỒNG CẤU
Đồng cấu nhóm
X, Y là nhóm,
f đgl đồng cấu nhóm ( f(ab) = f(a).f(b) (a,b (X

Hạt nhân và ảnh của đồng cấu nhóm


Tính chất của đồng cấu nhóm
a)
b)
c)
Định lí cơ bản của đồng cấu nhóm
Cho

Khi đó:
1)

2) Img = Imf


Đặc biệt:
Nếu thì g đẳng cấu. Khi đó:
Nếu là toàn cấu thì
Lưu ý: Để cm ta